Autovalori e autovettori

Un autovettore del'applicazione lineare $T:V\to V$ (endomorfismo), è quel vettore non nullo $v$ per cui: $$T(v)=\lambda v$$ cioè che non cambia direzione su $V$ con la trasformazione $T$, ma viene scalato da $\lambda \in K$.

In questo caso, $\lambda$ è detto l'autovalore associato a $v$ della trasformazione $T$.
Esso sarà anche l'autovalore di tutti i multipli $u=kv$ con $k\in K^{\ast }$, infatti: $$T(u)=T(kv)=kT(v)=\lambda kv=\lambda u$$

Se la trasformazione è espressa attraverso una matrice $A$ associata alla trasformazione $T$, allora quando: $$Av=\lambda v$$ il vettore $v$ sarà un autovettore, mentre $\lambda$ sarà il suo autovalore.

Polinomio caratteristico

Della matrice quadrata $A$ di dimensioni $n\times n$, si dice polinomio caratteristico il determinante: $$p(\lambda )=\det (A-\lambda I)$$ dove $I$ è la matrice identità di dimensioni uguali ad $A$.

Ricavare autovalori e autovettori

Sapendo che $$Av=\lambda \vec{v}\iff A\vec{v}-\lambda \vec{v}=\vec{0}\iff (A-\lambda I)\vec{v}=\vec{0}$$ e conoscendo la matrice $A$ e un autovalore $\lambda$, è possibile ricavare il corrispondente autovettore $v$.

Mentre per trovare $\lambda$, basta trovare gli zeri del polinomio caratteristico: $$\det (A-\lambda I)=0$$ da cui si ricaveranno al massimo $n$ autovalori, dove $n$ è la dimensione di $A$ (i.e. $n\times n$).

Esempio

Sia $T$ una trasformazione lineare rappresentata dalla matrice $A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right]$, allora: $$\begin{gathered} \det \left(A-\left[\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& \lambda \end{array}\right]\right)=0 \\ \Updownarrow \\ \det \left(\left[\begin{array}{cc}2-\lambda & 1\\ 3& 4-\lambda \end{array}\right]\right)=0 \\ \Updownarrow \\ (2-\lambda )(4-\lambda )-1\cdot 3=0 \\ \Updownarrow \\ {\lambda }^2-6\lambda +5=0\Rightarrow {\lambda }_{1,2}=\frac{6\pm \sqrt{36-4\cdot 5}}{2}=3\pm 2 \end{gathered}$$ per cui gli autovettori $v_1$ e $v_2$ si divideranno in base all'autovalore corrispondente:

• ${\lambda }_1=5$: $$\begin{gathered} (A-\lambda I)\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right] \\ \Updownarrow \\ \left(\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 5\end{array}\right]\right)\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right] \\ \Updownarrow \\ \left[\begin{array}{cc}-3& 1\\ 3& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right] \\ \Updownarrow \\ \left[\begin{array}{c}-3x+y\\ 3x-y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right] \\ \Downarrow \\ \{\begin{array}{l}-3x+y=0\\ 3x-y=0\end{array}\Rightarrow y=3x\Rightarrow v_1=\left[\begin{array}{c}t\\ 3t\end{array}\right] \end{gathered}$$

• ${\lambda }_2=1$: $$\begin{gathered} \left(\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\right)\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right] \\ \Updownarrow \\ \left[\begin{array}{c}x+y\\ 3x+3y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right] \\ \Downarrow \\ y=-x\Rightarrow v_2=\left[\begin{array}{c}t\\ -t\end{array}\right] \end{gathered}$$