Tipi di curve

Una curva parametrica $r(t)$ con $t\in I=[a,b]$, può essere:

• Chiusa, se la fine della curva si riconnette all'inizio, cioè: $$r(a)=r(b)$$

• Semplice, se non si interseca mai (escludendo gli estremi per quando è chiusa), cioè: $$r(t_1)=r(t_2)\iff t_1=t_2$$ dove $t_1\in I$ e $t_2\in \mathring{I}=I\setminus \{a,b\}$.

  La circonferenza (e.g. $x^2+y^2=1$) con $I\ne [0,2\pi ]$ non è semplice, perchè $r(t)=r(t+2\pi k)$.

• Regolare, se: $$r\in C^1\wedge r^{\prime }(t)\ne \vec{0},\forall t\in I$$ Nel caso in cui $r^{\prime }(t)$ non è continua, allora $r(t)$ non è regolare perchè $r(t)\notin C^1$.

  Da cui si può ricavare il versore tangente: $$T(t)=\frac{r^{\prime }(t)}{\Vert r^{\prime }(t)\Vert }$$

• Regolare a tratti, se $r\in C^0$ ed esistono finiti sottointervalli di $I$ su ognuno dei quali $r$ è regolare

Per esempio, se $r(t)=(t^3+t^4,\cos (\frac{\pi t}{2}))$ con $t\in [-2,2]$:

• Non è regolare anche se $r\in C^1$, perchè quando $t=0$, $r^{\prime }(t)=(0,-\frac{\pi }{2}\sin (0))=(0,0)$
• Non è chiusa, perchè $r(-2)\ne r(2)$
• Non è semplice, perchè $\cos (\frac{\pi t}{2})$ e $t^3+t^4$ non hanno la stessa asse di simmetria