Domini non rettangolari

L'integrale può essere esteso su un dominio $E$ non rettangolare (che esclude il teorema di Fubini),

di tipo:

• $y$-semplice, se $E_1=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x\in [a,b]\wedge g_1(x)\le y\le g_2(x)\}$ allora: $${\iint }_{E_1}f(x,y)dxdy={\int }_a^b\left({\int }_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)dy\right)dx$$
• $x$-semplice, se $E_2=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:y\in [c,d]\wedge h_1(y)\le x\le h_2(y)\}$ $${\iint }_{E_2}f(x,y)dxdy={\int }_c^d\left({\int }_{h_1(y)}^{h_2(y)}f(x,y)dx\right)dy$$
• Semplice, se $E=E_1\cap E_2$
• Regolare, se unione di insiemi semplici

Per esempio, se $f(x,y)=2x$ e il dominio: $$E=\left\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x\ge 0\wedge y\ge \frac{\sqrt{3}}{2}\wedge \frac{x^2}{4}+y^2\le 1\right\}$$ allora l'area andrà calcolata tra:

• $\frac{\sqrt{3}}{2}$ e la frontiera $y=\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}$ dell'ellissi $\frac{x^2}{4}+y^2=1$, per le $y$ positive
• $0$ e $1$ per le $x$, perchè l'ellissi decresce nel primo quadrante e si interseca con $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$ su $x=1\ge 0$

di conseguenza: $$\begin{array}{rl}{\int }_0^1\left({\int }_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}}2xdy\right)dx& ={\int }_0^1[2xy{]}_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}}dx={\int }_0^{1}x\sqrt{4-x^2}-\sqrt{3}xdx=\\ & ={\left[-\frac{1}{3}{\left(4-x^2\right)}^{\frac{3}{2}}-\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^2\right]}_0^1=\frac{8}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}\end{array}$$