Proprietà locali

Una funzione $f$ può essere crescente o decrescente localmente rispetto ad un punto $x_0$.

Può quindi soddisfare le proprietà locali:

• Crescente: $$f\text{ crescente in }{x}_0\iff \exists I_{x_0}:f(x)\le f(x_0),\forall x\in I_{x_0}:x<x_0\wedge f(x)\ge f(x_0),\forall x\in I_{x_0}:x>x_0$$ cioè se esiste un intorno $I_{x_0}$ per cui l'immagine dell'intorno sinistro di $x_0$ (dentro $I_{x_0}$) è minore del valore $f(x_0)$, e l'immagine dell'intorno destro di $x_0$ è maggiore di $f(x_0)$.

• Decrescente: $$f\text{ decrescente in }{x}_0\iff \exists I_{x_0}:f(x)\ge f(x_0),\forall x\in I_{x_0}:x<x_0\wedge f(x)\le f(x_0),\forall x\in I_{x_0}:x>x_0$$ cioè, analogamente a quando è crescente, se esiste un intorno $I_{x_0}$ per cui l'immagine dell'intorno sinistro di $x_0$ è maggiore del valore $f(x_0)$, e l'immagine dell'intorno destro di $x_0$ è minore di $f(x_0)$.

• Massimo relativo: $$x_0\text{ massimo relativo di }f\iff \exists I_{x_0}:f(x)\le f(x_0),\forall x\in I_{x_0}$$

• Minimo relativo: $$x_0\text{ minimo relativo di }f\iff \exists I_{x_0}:f(x)\ge f(x_0),\forall x\in I_{x_0}$$

I massimi e minimi dipendono anche dal dominio di $f$, infatti se $f(x)=x^2$ un minimo relativo sarà su $x=0$, ma se si restringe il dominio su $[1,+\infty )$ allora $x=1$ diventerà minimo e sarà assoluto.

Si dicono assoluti (quindi se hanno asintoni orizzontali) se si può determinare che: $$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)\ne \pm \infty$$

Studio del segno della derivata

In base al segno della derivata di $f$ sul punto $x_0$ si può determinare le proprietà che rispetta $f$:

• 
  $$f^{\prime }(x_0)>0\iff f\text{ eˋ strettamente crescente in }{x}_0$$ e quindi $f$ rispetta la proprietà locale per cui è crescente in $x_0$, ma strettamente, di conseguenza $\nexists I_{x_0}:f(x)=f(x_0),\forall x\in I_{x_0}$

• $$f^{\prime }(x_0)<0\iff f\text{ eˋ strettamente decrescente in }{x}_0$$

• 
  $$f^{\prime }(x_0)=0\iff x_0\text{ eˋ punto stazionario di }f$$ se $x_0$ è un punto interno al $\mathrm{Dom}(f)$.

  In base a come tende il grafico della funzione intorno a $x_0$, si può determinare che:

  • Se $f$ crescente a sinistra di $x_0$ e decrescente a destra, allora $x_0$ è un massimo locale
  • Se $f$ decrescente a sinistra di $x_0$ e crescente a destra, allora $x_0$ è un minimo locale
  • Se $f$ crescente intorno a $x_0$, allora $x_0$ è un punto di flesso a tangente orizzontale
  • Se $f$ decrescente intorno a $x_0$, allora $x_0$ è un punto di flesso a tangente orizzontale

Esempio

Sia $f(x)=2x^3+3x^2-12x$, non ci sono massimi e minimi assoluti perchè: $$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }(2x^3+3x^2-12x)=\pm \infty$$ ma ce ne sono di relativi, infatti: $$f^{\prime }(x)=6x^2+6x-12\Rightarrow 6x^2+6x-12>0\iff x<-2\wedge x>1$$ per cui, essendo positivo in $(-\infty ,2)\cup (1,+\infty )$ si ha che: