Verifica delle ipotesi

Nella verifica delle ipotesi si considera il sistema d'ipotesi composto da:

• Ipotesi nulla, $H_0$: rappresenta lo status quo
• Ipotesi alternativa, $H_A$: rappresenta l'alternativa che si vuole dimostrare che invaliderebbe $H_0$

La valutazione del sistema avviene tramite un test, che difende l'ipotesi nulla fino a prova contraria.

L'ipotesi nulla $H_0$ sarà una relazione d'ordine tra il parametro $\theta$ e un ${\theta }_0\in \mathbb{R}$. L'opposto, ovvero $H_A$, sarà:

• Bilaterale, con test a due code: se $H_A:\theta \ne {\theta }_0$
• Unilaterale sinistra, con test ad una coda: se $H_A:\theta <{\theta }_0$
• Unilaterale destra, con test ad una coda: se $H_A:\theta >{\theta }_0$

Per esempio, se una connessione ha velocità media dichiarata $H_0:\mu =54$ (Mbps) allora l'ipotesi alternativa può essere $H_A:\mu \ne 54$ se la si vuole dimostrare o $H_A:\mu <54$ se basta verificare che non scenda.

La statistica test si ricava da una trasformazione di $\hat{\theta }$, nella cui distribuzione si trovano una regione di accettazione $\mathcal{A}$, per cui si accetta $H_0$, e una regione di rifiuto $\mathcal{R}$, per cui si rifiuta $H_0$.

Errori

La scelta del campione può portare ad un errore campionario che causa conclusioni sbagliate:

Per stimare la correttezza della valutazione si può trovare:

• $\alpha$, ovvero il livello di significatività, cioè la probabilità di commettere un errore del 1° tipo
• $\beta (\theta )$, ovvero la potenza del test, cioè la probabilità di non commettere un errore del 2° tipo

Di conseguenza, dato un test $\mathcal{T}$, il livello di significatività è esprimibile come $\alpha =P(\mathcal{T}\in \mathcal{R}|H_0)$.

Intervalli di confidenza

Dato un test $\mathcal{T}$ e un'ipotesi alternativa bilaterale, è possibile concludere che il test non rifiuta $H_0$ con significatività $\alpha$ sse l'intervallo di confidenza di $\theta$ con livello di confidenza $1-\alpha$ contiene ${\theta }_0$.

Per esempio, dato il campione $2.5,7.4,8.0,4.5,7.4,9.2$ e $H_0:\mu =6$ contro $H_A:\mu \ne 6$, l'intervallo di confidenza di livello $95\%$ è $[4.74,8.26]$ e quindi $H_0$ non è rifiutabile perchè ${\mu }_0=6$ ci rientra.