Algebra dei limiti

Le operazioni principali tra due limiti come $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=m$$ comprendono:

• Limite della somma

  $$\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)+g(x))=l+m$$

  	$m\in \mathbb{R}$	$m=+\infty$	$m=-\infty$
  $l\in \mathbb{R}$	$l+m$	$+\infty$	$-\infty$
  $l=+\infty$	$+\infty$	$+\infty$	F. I.
  $l=-\infty$	$-\infty$	F. I.	$-\infty$

  Per esempio, $$\underset{x\to +\infty }{\lim }(x^2-x+1)\underset{[+\infty -\infty ]}{=}\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^2\left(1+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}\right)\right)=+\infty$$

• Limite del prodotto $$\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)\cdot g(x))=l\cdot m$$

  	$m<0$	$m=0$	$m>0$	$m=+\infty$	$m=-\infty$
  $l<0$	$l\cdot m$	$0$	$l\cdot m$	$-\infty$	$+\infty$
  $l=0$	$0$	$0$	$0$	F. I.	F. I.
  $l>0$	$l\cdot m$	$0$	$l\cdot m$	$+\infty$	$-\infty$
  $l=+\infty$	$-\infty$	F. I.	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$
  $l=-\infty$	$+\infty$	F. I.	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$

  Per esempio, $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}\cdot x\underset{[0\cdot +\infty ]}{=}1$$

• Limite del reciproco $$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{l}{m}$$

  	$m<0$	$m=0^{-}$	$m=0^{+}$	$m>0$	$m=+\infty$	$m=-\infty$
  $l<0$	$l/m$	$+\infty$	$-\infty$	$l/m$	$0^{-}$	$0^{+}$
  $l=0$	$0$	F. I.	F. I.	$0$	$0$	$0$
  $l>0$	$l/m$	$-\infty$	$+\infty$	$l/m$	$0^{+}$	$0^{-}$
  $l=+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$+\infty$	F. I.	F. I.
  $l=-\infty$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	F. I.	F. I.

• Limite di funzioni monotone

  $$f:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}\text{ monotona}$$

  Avrà il limite, $$\underset{x\to \alpha }{\lim }f(x)=l$$ che corrisponderà a:

  	$f$ crescente	$f$ decrescente
  $\alpha =\sup (A)$	$l=\sup (\mathrm{Im}(f))$	$l=\inf (\mathrm{Im}(f))$
  $\alpha =\inf (A)$	$l=\inf (\mathrm{Im}(f))$	$l=\sup (\mathrm{Im}(f))$

  con $\alpha \notin A$.