Massimi e minimi

Avendo una funzione $f:A\subseteq {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$, un punto ${\vec{x}}_0\in A$ (detto estremo) per $f$ è:

• Massimo assoluto (o globale) se $\forall \vec{x}\in A,f(\vec{x})\le f({\vec{x}}_0)$
• Minimo assoluto se $\forall \vec{x}\in A,f(\vec{x})\ge f({\vec{x}}_0)$
• Massimo relativo (o locale) se $\exists r>0:\forall \vec{x}\in (U_r({\vec{x}}_0)\cap A),f(\vec{x})\le f({\vec{x}}_0)$
• Minimo relativo se $\exists r>0:\forall \vec{x}\in (U_r({\vec{x}}_0)\cap A),f(\vec{x})\ge f({\vec{x}}_0)$

Inoltre, se ${\vec{x}}_0$ è uno dei precedenti, allora può anche essere:

• Vincolante se ${\vec{x}}_0\in \partial A$, cioè appartenenti alla frontiera
• Libero (o non vincolante) se ${\vec{x}}_0\in \mathring{A}$

Dal teorema di Wierstrass, se $A$ è chiuso e limitato e $f\in C^0$ allora esistono massimi e minimi assoluti in $A$.

Punti critici

Un punto ${\vec{x}}_0\in A$ con $A=\mathrm{Dom}(f)$ è detto critico (o stazionario) se: $$\nabla f({\vec{x}}_0)=\vec{0}$$

Per il teorma di Fermat, se ${\vec{x}}_0\in \mathring{A}$ è massimo o minimo locale e $f\in C^1(\{x_0\})$ allora ${\vec{x}}_0$ è punto critico.

Per esempio, se $f(x,y)=x^2+3(y-1{)}^2$ con $\mathrm{Dom}(f)={\mathbb{R}}^2$ si hanno punti critici quando: $$\nabla f(x,y)=\left(\begin{array}{c}2x\\ 6(y-1)\end{array}\right)=\vec{0}\iff \{\begin{array}{l}2x=0\\ 6(y-1)=0\end{array}$$ ovvero sul punto $(0,1)$ che è anche minimo assoluto, dato che altri $(x,y)$ danno valori più grandi.

Oppure, per esempio con $f(x,y)=x^2-y^3$: $$\mathrm{Dom}(f)={\mathbb{R}}^2\Rightarrow \nabla f(x,y)=\left(\begin{array}{c}2x\\ -3y^2\end{array}\right)=\vec{0}$$ da cui $(0,0)$ è punto stazionario. Non è però minimo perchè non lo è sulla sezione $x=0$ di $f$, cioè $-3y^2$.