Cardinalità e numerabilità

Cardinalità

La cardinalità di un insieme $A$ viene indicata con $|A|$ ed è uguale a quella di un insieme $B$ se esiste una corrispondenza biunivoca (uno a uno) tra i loro elementi.

Se un insieme $A$ è finito allora anche la sua cardinalità è finita. Se l'insieme è infinito invece, allora avra un numero infinito di elementi.

Numerabilità

Un insieme $A$ si dice numerabilità se ha la stessa cardinalità di $\mathbb{N}$, e cioè che ogni elemento di $A$ può essere associato con un numero in $\mathbb{N}$.

Tra gli insiemi specifici,

• $\mathbb{Z}$ è numerabile
• $\mathbb{Q}$ è numerabile
• $\mathbb{R}$ non è numerabile

Densità

L'insieme $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{I}$ (cioè $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$) si dicono densi in $\mathbb{R}$ perchè $$\forall a,b\in \mathbb{R}:a<b,(\exists x\in \mathbb{Q}:a<x<b)\wedge (\exists y\in \mathbb{I}:a<y<b)$$ e cioè che tra due numeri $a$ e $b$ c'è sempre un numero $x\in \mathbb{Q}$ e un numero $y\in \mathbb{I}$.