Matrici

Una matrice, $$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$$ ha dimensioni $m\times n$, con $m$ righe e $n$ colonne.

Proprietà

• $a_{ij}$ è chiamato termine (o componente), ed è l'elemento sulla riga $i$ e sulla colonna $j$
• $(a_{ij})$ definisce una matrice in cui ogni termine è indentificato da $a_{ij}$
• $A^j$ è il vettore che contiene gli elementi sulla colonna $j$
• $A_i$ è il vettore sulla riga $i$
• Se la matrice è quadrata, quindi se ha dimensioni $n\times n$, può essere:
  • Simmetrica (sulla diagonale), se $a_{ij}=a_{ji},\forall i,j\in [1,n]$
  • Diagonale, se $a_{ij}=0,\forall i,j\in [1,n]:i\ne j$, per cui è anche simmetrica
  • Identica (o identità o unita), se è diagonale e $a_{ii}=1,\forall i\in [1,n]$
  • Triangolare (inferiore, perchè hanno elementi solo in basso), se $a_{ij}=0,\forall i,j\in [1,n]:i<j$
• La matrice zero (chiamata $O$), è una matrice in cui ogni elemento è nullo

Operazioni semplici

• Addizione:

  È possibile fare l'addizione solamente se le due matrici hanno la stessa dimensione $m\times n$: $$A=(a_{ij})\wedge B=(b_{ij})\Rightarrow A+B=(a_{ij}+b_{ij})$$

• Prodotto per uno scalare $c\in \mathbb{R}$:

  $$c\cdot A=(c\cdot a_{ij})$$

• Trasposta

  La matrice trasposta consiste nello scambiare la colonna per la riga su ogni elemento della matrice, per cui viene capovolta sulla diagonale.

  Per esempio, $${\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 0\\ 1& 3& 5\\ 4& 2& 0\end{array}\right]}^T=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 4\\ 3& 3& 2\\ 0& 5& 0\end{array}\right]$$

• Traccia

  La traccia di una matrice quadrata equivale alla somma di tutti gli elementi sulla diagonale: $$\mathrm{trace}(A)=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}$$

• Prodotto hadamard (o element-wise product):

  Consiste nel prodotto fra gli elementi di due matrici di uguali dimensioni: $$A\circ B=A\odot B=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]\circ \left[\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}{b}_{11}& a_{12}{b}_{12}\\ a_{21}{b}_{21}& a_{22}{b}_{22}\end{array}\right]$$