Baricentro

All'interno di un dominio $D\subset {\mathbb{R}}^2$, il baricentro è il punto medio di tutte le $x$ e di tutte le $y$ del dominio: $$(x_C,y_C)=\left(\frac{{\iint }_{D}xdxdy}{A_D},\frac{{\iint }_{D}ydxdy}{A_D}\right)$$ dove $A_D$ è l'area del dominio: $$A_D={\iint }_{D}dxdy$$

La funzione $f(x,y)$ non è quindi necessaria per il calcolo del baricentro, infatti in un dominio rettangolare è sempre al centro, indipendentemente dall'andamento di $f$.

Per esempio, se $D$ corrisponde a:

allora: $$\begin{array}{rl}{A}_D& ={\int }_{-1}^0{\int }_{\frac{1-x}{2}}^{x+2}1dydx+{\int }_0^1{\int }_{\frac{1-x}{2}}^{1-x}1dydx=1\\ (x_C,y_C)& =\left(\frac{{\int }_{-1}^0{\int }_{\frac{1-x}{2}}^{x+2}xdydx+{\int }_0^1{\int }_{\frac{1-x}{2}}^{1-x}xdydx}{A_D},\frac{{\int }_{-1}^0{\int }_{\frac{1-x}{2}}^{x+2}ydydx+{\int }_0^1{\int }_{\frac{1-x}{2}}^{1-x}ydydx}{A_D}\right)=\left(-\frac{1}{6},1\right)\end{array}$$