Immagine e controimmagine

Immagine

Si dice immagine di un valore $x$, il valore $y$ che assume la funzione su $x$, cioè $y=f(x)$.

Per esempio, l'immagine di $2$ sulla funzione $f(x)=2x+1$ è $f(2)=5$.

L'immagine di un insieme di valori $C\subseteq \mathrm{Dom}(f)$, è l'insieme di tutte le $y$ che assume $f$ su $C$: $$f(C)=\{f(x)\in \mathrm{Codom}(f)|x\in C\}$$

Quando si parla di immagine di una funzione $f(\mathrm{Dom}(f))$ o $\mathrm{Im}(f)$ quindi, si intendono tutti i valori assunti dalla funzione sul codominio.

Il codominio però, è diverso dall'immagine di una funzione $f$, perchè $Im(f)$ si calcola, mentre $\mathrm{Codom}(f)$ è specificato nella firma della funzione (e.g. $f:A\to B\Rightarrow B=\mathrm{Codom}(f)$).

Per esempio, nel caso della funzione $f(x)=mx+q$, che comprende tutte le rette non verticali, l'immagine sarà $f(D)=\{\begin{array}{ll}\mathbb{R}& \text{se }m\ne 0\\ \{q\}& \text{se }m=0,\text{ retta orizzontale}\end{array}$, con $D=\mathrm{Dom}(f)$.

Controimmagine

La controimmagine di una funzione $f:D\to B$ è rappresentata da $\overleftarrow{f}(B)$, e viene descritta come: $$\overleftarrow{f}(B)=\{x|f(x)\in B\wedge x\in D\}$$

Analogamente all'immagine, anche il dominio è diverso dalla controimmagine, perchè quest'ultima va calcolata e il diminio è specificato nella firma.

Esempio

Sia $f(x)=-2x^2+4x$,

• $\overleftarrow{f}(\{0\})=\{0,2\}$, perchè i punti $x$ del dominio corrispondenti al punto $y=0$ del codominio sono $\{0,2\}$
• $\overleftarrow{f}(\{2\})=\{1\}$, dato che sul punto $x=1$ si ha il vertice $y=2$
• $\overleftarrow{f}([-1,3))=\left[1-\frac{\sqrt{6}}{2},1+\frac{\sqrt{6}}{2}\right]$, dato che i punti del codominio sono $(-\infty ,2]$ (dove $2$ è il vertice), per cui i punti del dominio che corrispondono a $[-1,3)$ sono limitati dalle $x$ su $y=-1$, quindi $x=1\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$