Distribuzioni continue

Uniforme

$$X\sim \mathrm{U}(a,b)$$

• Densità: $f(x)=\frac{1}{b-a}$, per $x\in (a,b)$
• Ripartizione: $F(x)=\frac{x-a}{b-a}$
• Media: $E(X)=\frac{a+b}{2}$
• Varianza: $\mathrm{Var}(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12}$

Normale

$$X\sim \mathrm{N}(\mu ,{\sigma }^2)$$

• Densità: $f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$
• Ripartizione: $F(x)=\Phi (\frac{x-\mu }{\sigma })$
• Media: $E(X)=\mu$
• Varianza: $\mathrm{Var}(X)={\sigma }^2$
• Funzione,
  • per $P(X\le x)$: pnorm(q=x, mean=μ, sd=𝜎)
  • per $P(a\le X\le b)$: pnorm(q=b, mean=μ, sd=𝜎)-pnorm(q=a, mean=μ, sd=𝜎)

Modella a curva di campana la probabilità di fenomeni con media $\mu$ e varianza dei valori ${\sigma }^2$.

Attraverso la standardizzazione di una variabile $X$ si ottiene una normale standard: $$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim \mathrm{N}(0,1)$$ in cui $E(Z)=0$ e $\mathrm{Var}(Z)=1$, da cui si trova la funzione di ripartizione particolare di $Z$: $$\Phi (z)={\int }_{-\infty }^z\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx$$

Per esempio, la probabilità che il diametro $X$ di un tubo prodotto da una macchina che ha media $\mu =3\text{mm}$ e varianza ${\sigma }^2=0.09^2{\text{mm}}^2$ sia fuori specifica richiesta, cioè che non sia di diametro $2.94\pm 0.18$ è: $$\begin{array}{rl}P(|X-2.94|>0.18)& =P(X<2.94-0.18)+P(X>2.94+0.18)=\\ & =P(X<2.76)+1-P(X\le 3.12)=\\ & =\Phi \left(\frac{2.76-3}{0.09}\right)+1-\Phi \left(\frac{3.12-3}{0.09}\right)\approx \\ & \approx 0.00391+1-0.90824=0.09567\end{array}$$

In questo caso la distribuzione può approssimare la binomiale, infatti: $$\mathrm{Bin}(n,p)\approx \mathrm{N}(np,np(1-p))$$ usato in pratica quando $np(1-p)\ge 10$.

Per esempio, la probabilità che si danneggino da $800$ a $850$ file su $2400$ ognuno con probabilità $0.35$ è: $$P(800\le X\le 850)=\sum _{k=800}^{850}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2400}{k}\right)0.35^k(1-0.35{)}^{2400-k}=0.632893$$ ovvero pbinom(850, 2400, 0.35) - pbinom(799, 2400, 0.35), oppure con la normale, dopo una correzione di continuità, dove $\mu =2400\cdot 0.35=840$ e $\sigma =\sqrt{2400\cdot 0.35(1-0.35)}\approx 23.3666$: $$\begin{array}{rl}P(800\le X\le 850)& =P(799.5<X<850.5)\approx \\ & \approx \Phi \left(\frac{850.5-840}{23.3666}\right)-\Phi \left(\frac{799.5-840}{23.3666}\right)=\\ & =\Phi (0.4493586)-\Phi (-1.73324)=\\ & =\Phi (0.4493586)-(1-\Phi (1.73324))=\\ & =0.631887\end{array}$$

Gamma

$$X\sim \mathrm{Ga}(\alpha ,\lambda )$$

• Densità: $f(x)=\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda x}$, per $x>0$
• Media: $E(X)=\frac{\alpha }{\lambda }$
• Varianza: $\mathrm{Var}(X)=\frac{\alpha }{{\lambda }^2}$
• Funzione, per $P(X\le x)$: pgamma(q=x, shape=𝛼, rate=𝜆)

Modella $X$ sul tempo di attesa per l'arrivo di $\alpha$ successi con frequenza media $\lambda$.

La densità contiene la funzione gamma che estende il fattoriale su $\mathbb{R}$, infatti $\Gamma (n+1)=n!,\forall n\in \mathbb{N}$.

Riordinando i termini per ottenere una densità conosciuta invece, si trovano la media e la varianza: $$\begin{array}{rl}E(x)& ={\int }_0^{\infty }x\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda x}dx=\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{\int }_0^{\infty }{x}^{(\alpha +1)-1}{e}^{-\lambda x}dx=\\ & =\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}\cdot \frac{\Gamma (\alpha +1)}{{\lambda }^{\alpha +1}}{\int }_0^{\infty }\frac{{\lambda }^{\alpha +1}}{\Gamma (\alpha +1)}{x}^{(\alpha +1)-1}{e}^{-\lambda x}dx=\\ & =\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}\cdot \frac{\Gamma (\alpha +1)}{{\lambda }^{\alpha +1}}\cdot 1=\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\cancel{\Gamma (\alpha )}}\cdot \frac{\cancel{\Gamma (\alpha )}\cdot \alpha }{{\lambda }^{\alpha +1}}=\frac{\alpha }{\lambda }\end{array}$$

Esponenziale

$$X\sim \mathrm{Exp}(\lambda )$$

• Densità: $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$, per $x\ge 0$
• Ripartizione: $F(x)=1-e^{-\lambda x}$
• Media: $E(X)=\frac{1}{\lambda }$
• Varianza: $\mathrm{Var}(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$
• Funzione, per $P(X\le x)$: pgamma(q=x, shape=1, rate=𝜆)

Modella $X$ sull'attesa di un successo in base ad una frequenza $\lambda$.

Come la geometrica, possiede la mancanza di memoria.

Per esempio, ogni ora un software è installato su $\lambda =30$ PC, la probabilità che ci vogliano più di $5$ minuti è: $$P\left(X>\frac{5}{60}\right)=1-P\left(X\le \frac{5}{60}\right)=1-(1-e^{-30\cdot \frac{5}{60}})=e^{-\frac{5}{2}}$$

Processo di Poisson

$$X_t\sim \mathrm{Po}(\lambda \cdot t)$$

L'insieme delle $X_t$ per $t>0$ modella il conteggio di eventi dal tempo $0$ al tempo $t$.

Per esempio, ogni $10$ minuti arrivano $12$ messaggi, la probabilità che non arrivi alcun messaggio in $15$ minuti è $P(X_{15}=0)=e^{-\frac{12}{10}\cdot 15}=e^{-18}$, che in questo caso è uguale a $P(T>15)=e^{-18}$ con $T\sim \mathrm{Exp}(\frac{12}{10})$.