Calcolo dei limiti

Attraverso delle sezioni, è possibile convergere su un punto $(x_0,y_0)$ da diverse direzioni sul piano $xy$. Sfruttando le disuguaglianze invece, è possibile semplificare i limiti per trovare una funzione di confronto.

Per esempio, per: $$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{y(x^2+3y^2)}{x^2+5y^2}$$ si può convergere dalla retta $x=0$ o dalla retta $y=0$, per cui: $$x=0\Rightarrow \underset{y\to 0}{\lim }\frac{3y^3}{5y^2}=0\vee y=0\Rightarrow \underset{x\to 0}{\lim }\frac{0}{x^2}=0$$ Perchè il limite esista, deve convergere su $0$ da tutte le direzioni, altrimenti basta che solo uno sia diverso.

Quindi, va verificato che $$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{y(x^2+3y^2)}{x^2+5y^2}\underset{\left[\frac{0}{0}\right]}{=}0$$ secondo la proprietà: $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=L\iff \underset{x\to x_0}{\lim }|f(x)-L|=0$$

Per il teorema del confronto, dato che $L=0$, e che $\frac{x^2+3y^2}{x^2+5y^2}\le 1$: $$\begin{array}{rcccl}0& \le & |\frac{y(x^2+3y^2)}{x^2+5y^2}-0|& \le & |y|\\ & \searrow & \downarrow & \swarrow & \\ & & 0& & \end{array}$$

Coordinate polari

Su certi limiti, può tornare utile sostituire $(x,y)$ con le coordinate polari $(\rho \cos (\theta )+x_0,\rho \sin (\theta )+y_0)$.

Per esempio: $$\underset{(x,y)\to (1,0)}{\lim }\frac{y^2\ln (x)}{(x-1{)}^1+y^2}\underset{\left[\frac{0}{0}\right]}{=}\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{{\rho }^2{\sin }^2(\theta )\ln (1+\rho \cos (\theta ))}{{\rho }^2{\cos }^2(\theta )+{\rho }^2{\sin }^2(\theta )}=\underset{\rho \to 0}{\lim }{\sin }^2(\theta )\ln (1+\rho \cos (\theta ))=0$$ perchè ${\sin }^2(\theta )\to [0,1]$ e $\cos (\theta )\to [-1,1]$, dove $(x,y)=(1+\rho \cos (\theta ),\rho \sin (\theta ))$.

Oppure, per esempio: $$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{y(x^2+3y^2)}{x^2+5y^2}\underset{\left[\frac{0}{0}\right]}{=}\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{b\rho \sin (\theta )(a^2{\cos }^2(\theta )+3b^2{\sin }^2(\theta ))}{a^2{\cos }^2(\theta )+5b^2{\sin }^2(\theta )}=0\iff \{\begin{array}{l}x=a\cdot \rho \cos (\theta )\\ y=b\cdot \rho \sin (\theta )\end{array}$$ e $a=1,b=\frac{1}{\sqrt{5}}$ (cioè le coordinate polari dell'ellissi) oppure $a=\sqrt{5},b=1$.

Dalla sostituzione del limite, $\rho \to 0$, perchè: $$\underset{\rho \to 0}{\lim }\tilde{f}(\rho ,\theta )=l\in \mathbb{R},\forall \theta \in [0,2\pi [$$ altrimenti, se il risultato dipende da $\theta$, il limite non esite.