Limiti

Successioni

Un limite in ${\mathbb{R}}^n$ può essere definito su una successione di punti $\{x_k:k\in {\mathbb{N}}^{+}\}$, per cui: $$\underset{k\to +\infty }{\lim }{x}_k=x_0\iff \underset{k\to +\infty }{\lim }\Vert x_k-x_0\Vert =0$$ allora il limite di una funzione $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ per una successione $\{x_k\}$ convergente in $x_0$, sarà: $$\underset{k\to +\infty }{\lim }f(x_k)=l\iff \underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l$$

Definizione

Più in generale, secondo la definizione epsilon-delta, il limite di una funzione $f:A\subset {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ definita almeno nell'intorno $U_r(x_0)\setminus x_0$ sarà: $$\begin{gathered} \underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l\in \mathbb{R} \\ \Updownarrow \\ \forall ϵ>0,\exists \delta >0:0<\Vert x-x_0\Vert <\delta \Rightarrow |f(x)-l|<ϵ \end{gathered}$$

Se $x\to \infty$, si prende un $M>0$ (ovvero un punto in $\mathbb{R}$ distante $M$ dall'origine) per cui i punti $x$ che hanno $\Vert x\Vert >M$ (ovvero sono più distanti di $M$) portano $f(x)\to l$, cioè $\Vert x\Vert >M\Rightarrow \Vert f(x)-l\Vert <ϵ$.