Funzioni a più variabili

Una funzione a più variabili è detta tale se: $$\begin{array}{rl}f:A\subseteq {\mathbb{R}}^n& \to \mathbb{R}\\ \vec{x}=(x_1,...,x_n)& \mapsto z=f(\vec{x})=f(x_1,...,x_n)\end{array}$$ per cui il grafico $G(f)=\{(\vec{x},z)\in {\mathbb{R}}^n\times \mathbb{R}:\vec{x}\in \mathrm{Dom}(f)\wedge z=f(\vec{x})\}$.

Insieme di livello

L'insieme di livello associato a $k\in \mathbb{R}$ di una funzione $f$ è: $${\Lambda }_k=\{\vec{x}\in \mathrm{Dom}(f):f(\vec{x})=k\}$$ cioè l'insieme di tutti i punti $\vec{x}$ del dominio di $f$ che si trovano ad altezza $k$.

Chiamiamo invece sezione verticale, una sezione come l'insieme di livello ma parallelo all'asse $z$.

Per esempio, se $f(x,y)=x^2+y^2$ e il livello è $k\in \mathbb{R}$: $${\Lambda }_k=\{\begin{array}{ll}\varnothing & \text{se }k<0\\ \{(0,0)\}& \text{se }k=0\\ \{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x^2+y^2=k\}& \text{se }k>0\end{array}$$ che nel caso $k>0$, risulta essere un cerchio con raggio $\sqrt{k}$.

Come sezioni verticali invece:

• $f(0,y)=y^2$: una parabola parallela al piano $yz$ come intersezione con il piano $x=0$
• $f(x,0)=x^2$: parallela al piano $xz$ come intersezione con il piano $y=0$