Trasformazioni lineari

Una trasformazione (o applicazione) $f:V\to W$ con $V$ e $W$ spazi vettoriali sul campo $K$ è lineare se:

• $f(x+y)=f(x)+f(y)$,
• $f(ax)=af(x)$

per ogni $a\in K$ e $x,y\in V$.

La trasformazione $f$ è detta:

• Omomorfismo (sempre), perchè con $\omega :V\cup W\to V\cup W$ (e.g. $\omega (x,y)=x+y$ o $\omega (x)=2x$): $$f(\omega (x,y,...))=\omega (f(x),f(y),...)$$

• Isomorfismo, quando $f$ è biettiva e quindi esiste $f^{-1}:W\to V$.

• Endomorfismo, quando $\mathrm{Dom}(f)=\mathrm{Codom}(f)$, e quindi $f:V\to V$.

• Automorfismo, quando oltre ad essere un endomorfismo esiste anche l'inversa.

Nucleo e immagine

Il nucleo della funzione $f$ (sottospazio di $V$) è definito come come l'insieme di punti la cui immagine è nulla: $$\mathrm{Ker}(f)=\{\vec{x}\in V:f(\vec{x})=\vec{0}\}$$ mentre l'immagine (sottospazio di $W$) corrisponde a $\mathrm{Im}(f)=\{f(x)\in W:x\in V\}$.

Se $\dim (V),\dim (W)\in \mathbb{N}$, il teorema della dimensione dice che: $$\dim (\mathrm{Ker}(f))+\dim (\mathrm{Im}(f))=\dim (V)$$

Biettività

Perchè $f$ sia invertibile e quindi biettiva, la funzione deve essere:

• Iniettiva, quando $\dim (\mathrm{Ker}(f))=0$
• Suriettiva, quando $\dim (\mathrm{Im}(f))=\dim (W)$

Matrice associata alla trasformazione

Una trasformazione lineare del tipo, $$\begin{array}{rl}t:& {\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3\\ & (x,y)\mapsto (x+y,2x,x-y)\end{array}$$ è esprimibile dalla matrice dei coefficienti: $$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\\ e& f\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+y\\ 2x\\ x-y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}ax+by\\ cx+dy\\ ex+fy\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\\ e& f\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 0\\ 1& -1\end{array}\right]$$ che avrà dimensione $\dim (\mathrm{Codom}(t))\times \dim (\mathrm{Dom}(t))=\dim ({\mathbb{R}}^3)\times \dim ({\mathbb{R}}^2)=3\times 2$.