Operazioni tra funzioni

$$f,g:A\to \mathbb{R}\text{ continue}$$

Le operazioni tra due funzioni continue $f$ e $g$ risulteranno sempre in una funzione continua, come $f+g$, $f\cdot g$, $\frac{f}{g}$, $|f|$.

Vale anche per le funzioni composte $h(x)=(f\circ g)(x)=f(g(x))$, che si può verificare con il cambio di variabili, cioè: $$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=l\notin \mathrm{Dom}(f),\text{ ma eˋ di accumulazione su }\mathrm{Dom}(f)\Rightarrow \underset{x\to x_0}{\lim }f(g(x))=\underset{t\to l}{\lim }f(t)$$

Per esempio, $h(x)=\ln \frac{1}{x}$ è continua perchè $\frac{1}{x}$ e $\ln x$ sono continue, e un limite si risolverà: $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln \frac{1}{x}\underset{\frac{1}{x}\to +\infty }{=}\underset{t\to +\infty }{\lim }\ln t=+\infty$$

Funzioni inverse

Se una funzione $f$ è strettamente monotona e è definita su un intervallo oppure un insieme chiuso e limitato (per esempio l'unione di più intervalli), allora $f^{-1}$ è continua.