Infiniti e infinitesimi

Funzioni infinitesime

Una funzione $f$ si dice infinitesima su $x_0$ se: $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0$$

L'ordine di infinitesimo di due funzioni $f$ e $g$ infinitesime, dette infinitesimi simultanei su $x_0$, è dato da: $$\underset{x\to x_0}{\lim }\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|=l$$

Per cui, quando:

• $f$ tende prima a $0$ rispetto a $g$, $f$ ha ordine di infinitesimo superiore a $g$: $f=o(g)\Rightarrow l=0$
• $g$ tende prima a $0$ rispetto a $f$, $f$ ha ordine di infinitesimo inferiore a $g$: $g=o(f)\Rightarrow l=+\infty$
• $f$ e $g$ tendono insieme a $0$, $f$ ha lo stesso ordine di infinitesimo di $g$: $f=O(g)\Rightarrow l>0$

Principio di sostituzione

Siano $f_1$, $f_2$, $g_1$, $g_2$ infinitesimi simultanei in $x_0$, allora $$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f_1(x)+f_2(x)}{g_1(x)+g_2(x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f_1(x)\left(1+\frac{f_2(x)}{f_1(x)}\right)}{g_1(x)\left(1+\frac{g_2(x)}{g_1(x)}\right)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f_1(x)}{g_1(x)}$$ se e solo se $f_2$ e $g_2$ hanno ordine di infinitesimo superiore (cioè tendono prima a $0$) di $f_1$ e $g_1$, dato che nel raccoglimento $\frac{f_2(x)}{f_1(x)}$ e $\frac{g_2(x)}{g_1(x)}$ tendono a zero.

Per esempio: $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x+{\sin }^3(x)+1-\cos (x)}{\log (1+x^2)+3\sin (x)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x\left(1+\frac{{\sin }^3(x)}{2x}+\frac{1-\cos (x)}{2x}\right)}{3\sin (x)\left(\frac{\log (1+x^2)}{3\sin (x)}+1\right)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x\left(1+\frac{1-\cos (x)}{2x}\right)}{3\sin (x)}$$ perchè $\frac{{\sin }^3(x)}{2x},\frac{\log (1+x^2)}{3\sin (x)}\to 0$, dato che ${\sin }^3(x)$ e $\log (1+x^2)$ sono infinitesimi superiori a $2x$ e $3\sin (x)$, $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x\left(1+\frac{1}{2}\frac{1-\cos (x)}{x}\right)}{3\sin (x)}\stackrel{\mathcal{H}}{=}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x\left(1+\frac{1}{2}\frac{\sin (x)}{1}\right)}{3\sin (x)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x}{3\sin (x)}=\frac{2}{3}$$

Funzioni infinite

Una funzione $f$ si dice infinita su $x_0$ se: $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty$$

L'ordine di infinito di due funzioni $f$ e $g$ infinite, dette infiniti simultanei su $x_0$, è dato da: $$\underset{x\to x_0}{\lim }\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|=l$$

Per cui, quando:

• $f$ tende prima a $\pm \infty$ rispetto a $g$, $f$ ha ordine di infinito superiore a $g$: $f=o(g)\Rightarrow l=+\infty$
• $g$ tende prima a $\pm \infty$ rispetto a $f$, $f$ ha ordine di infinito inferiore a $g$: $g=o(f)\Rightarrow l=0$
• $f$ e $g$ tendono insieme a $\pm \infty$, $f$ ha lo stesso ordine di infinito di $g$: $f=O(g)\Rightarrow l>0$

Principio di sostituzione

Siano $f_1$, $f_2$, $g_1$, $g_2$ infiniti simultanei in $x_0$, allora $$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f_1(x)+f_2(x)}{g_1(x)+g_2(x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f_1(x)\left(1+\frac{f_2(x)}{f_1(x)}\right)}{g_1(x)\left(1+\frac{g_2(x)}{g_1(x)}\right)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f_1(x)}{g_1(x)}$$ se e solo se $f_1$ e $g_1$ hanno ordine di infinito inferiore (cioè tendono prima a $\pm \infty$) di $f_2$ e $g_2$, dato che nel raccoglimento $\frac{f_2(x)}{f_1(x)}$ e $\frac{g_2(x)}{g_1(x)}$ tendono a zero.