Teoremi

1. Teorema di unicità

   Che dice che un limite su un punto $x_0$ può assumere un solo valore $l\in \mathrm{Codom}(f)$.

   $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l_1\wedge \underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l_2\Rightarrow l_1=l_2$$ perchè se fossero diversi, dovrebbe per forza esistere un intorno (delle $y$) di $l_1$ e un altro di $l_2$ che non condividono alcun punto, ma visto che per entrambi la controimmagine (valori sulle $x$) è un intorno di $x_0$, allora se $x\in I_{x_0}\Rightarrow f(x)\in I_{l_1}\wedge f(x)\in I_{l_2}$, cosa assurda, visto che abbiamo dato per scontato che $I_{l_1}\cap I_{l_2}=\varnothing$.

2. Teorema di permanenza del segno

   Che dice che se il risultato di un limite è positivo, allora esiste un intorno di $x_0$ per cui $f(x)$ è positiva su tutti i punti dell'intorno.

   $$l>0\Rightarrow \exists I_{x_0}:f(x)>0,\forall x\in I_{x_0}$$

3. Teorema del confronto

   Che dice che se in un intorno di $x_0$, $$f(x)\le g(x)\le h(x)$$ dove $f(x)$ e $h(x)$ tendono a $l$, allora: $$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=l$$

   Per esempio, se $g(x)=\frac{1}{x+1}$ e $0\le g(x)\le \frac{1}{x}$, allora ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=0$.

   Vale anche nel caso in cui $f(x)$ tenda ad infinito, infatti se: $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\infty \Rightarrow \underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=+\infty$$ perchè $f(x)\le g(x)$, che è analogo a: $$\underset{x\to x_0}{\lim }h(x)=-\infty \Rightarrow \underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=-\infty$$