Rette e piani

Retta

L'equazione parametrica della retta sarà: $$X=P+tA$$ dove $P$ è un punto, mentre $A$ è un vettore che definisce la direzione della retta.

Il parametro $t$ assumerà tutti i valori reali, e fa da scalare al vettore $A$ traslandolo sul punto $P$, creando così una retta.

La forma cartesiana della retta invece, sarà: $$ax+by+c=0$$ per cui quando:

• $a=0$, è parallelo all'asse $x$
• $b=0$, è parallelo all'asse $y$
• $c=0$, passa per l'origine

In forma cartesiana

Dall'equazione $X$ e la sua forma parametrica $$r:\{\begin{array}{l}x=X_0=p_0+a_0\cdot t\\ y=X_1=p_1+a_1\cdot t\end{array}$$ è possibile ricavare l'equazione in forma cartesiana, isolando $t$ e sostituendolo.

Per esempio, se $X=(1-2t,2+t)$: $$r:\{\begin{array}{l}x=1-2t\\ y=2+t\end{array}=\{\begin{array}{l}t=\frac{1-x}{2}\\ y=2+\frac{1-x}{2}=\frac{5-x}{2}\end{array}\Rightarrow x+2y-5=0$$ che si ricava dalla trasformazione implicita di $y$ dopo la sostituzione.

Dalla forma cartesiana

È per cui possibile anche fare il contrario, portando l'equazione dalla forma cartesiana alla forma parametrica ponendo $x$ uguale a $t$.

Per esempio, se: $$2x-y+5=0\Rightarrow r:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2t+5\end{array}\Rightarrow X=(t,2t+5)$$

Se poi si vuole trovare anche il punto $P$ e il vettore $A$, basterà: $$r:\{\begin{array}{l}{p}_0+a_0\cdot t=0+1\cdot t\\ p_1+a_1\cdot t=5+2\cdot t\end{array}\Rightarrow P=(0,5)\wedge A=(1,2)$$

Passante per due punti

Per usare l'equazione parametrica per trovare la retta passante per due punti $B$ e $C$ serve un vettore su cui si trova la retta.

Un vettore che possiamo costruirci è quindi $\overrightarrow{BC}$: $$\overrightarrow{BC}=C-B=(c_0-b_0,c_1-b_1)$$

Come punto invece, possiamo usare sia $B$ che $C$: $$X=C+t\cdot \overrightarrow{BC}$$

Piano

L'equazione parametrica del piano su ${\mathbb{R}}^3$ sarà: $$X=P+tA+sB$$ dove $P$ è un punto su cui traslare il piano, mentre $A$ e $B$ sono i due vettori che indicano la direzione del piano.

La forma cartesiana del piano sarà: $$ax+by+cz+d=0$$ per cui quando:

• $a=0$, è parallelo all'asse $x$
• $b=0$, è parallelo all'asse $y$
• $c=0$, è parallelo all'asse $z$
• $d=0$, passa per l'origine

In forma cartesiana

Il procedimento è analogo alla trasformazione in forma cartesiana della retta.

Per esempio, se si vuole trovare il piano che passa tra i punti $P$, $Q$ e $R$, bisognerà creare due vettori $A=\overrightarrow{PQ}$ e $B=\overrightarrow{PR}$ da usare sull'equazione parametrica assieme ad uno dei tre punti, per poi isolare i parametri e trovare l'equazione implicita del piano.

Dalla forma cartesiana

Anche in questo caso il processo è analogo alla trasformazione dalla forma cartesiana della retta, per cui basterà porre $x=t$, $z=s$ e isolare $y$ nell'equazione cartesiana.