Funzioni elementari

• $x^a$, $a^x$, ${\log }_{a}x$
• $\sin (x)$, $\tan (x)$
• $\arcsin (x)$, $\arctan (x)$
• $|x|$

Per decidere se una funzione definita a tratti è continua, bisogna controllare il punti di giunzione tra i vari casi.

Per esempio, la funzione $\mathrm{sgn}(\sin (x))$ è continua nei punti $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \}$, perchè quando $\mathrm{sgn}(x_0)=0$, ${\lim }_{x\to x_0^{-}}\mathrm{sgn}(x)\ne {\lim }_{x\to x_0^{+}}\mathrm{sgn}(x)$.

Un altro caso, è quello di trovare un parametro $a$ che renda la funzione definita a tratti continua, per esempio con: $$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1& \text{ se }x\le 1\\ 3-2a{x}^2& \text{ se }x>1\end{array}$$ la funzione è continua se ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)$, e quindi se $$3-2a\cdot 1^2=2\iff 3-2a=2\iff a=\frac{1}{2}$$