Polinomio di Taylor

Il polinomio di Taylor serve ad approssimare una funzione, ed aumentando il grado del polinomio aumenta la precisione della funzione intorno ad un punto $x_0$.

Quindi, se $f\in C^k(I)$ e $x_0\in I$: $$T_{k,x_0}(x)=\sum _{n=0}^k\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$$ dove $k$ è l'ordine del polinomio di Taylor.

Il punto $x_0$ è l'unico punto per cui $T_{n,x_0}(x_0)=f(x_0)$, cioè è l'unico che tocca veramente la funzione, infatti è usato come punto di partenza per sviluppare il polinomio di Taylor.

Quando $x_0=0$, $T_{n,0}(x)$ viene detto polinomio di Maclaurin.

Un esempio è $f(x)=e^x$, per cui $T_{n,0}(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+...+\frac{x^n}{n!}$.

Formula di Taylor-Peano

Più ci si sposta dal punto $x_0$ più la precisione del polinomio diminuisce, per cui la formula di Taylor-Peano serve a trovare l'errore (cioè la differenza) tra la vera funzione e quella approssimata.

Sia $f$ derivabile $n-1$ volte in $\mathrm{Dom}(f)$ e derivabile $n$ volte in $x_0$ con $x_0\in \mathrm{Dom}(f)$, allora il resto sarà: $$w_n(x)=f(x)-T_{n,x_0}(x)=o((x-x_0{)}^n)$$ dove $o((x-x_0{)}^n)$ è chiamato resto di Peano, infatti $w_n(x)$ è infinitesima superiore rispetto a $(x-x_0{)}^n$, cioè tende più velocemente a $0$.

Formula di Taylor-Lagrange

La formula di Taylor-Lagrange, come per quella di Taylor-Peano, trova il resto tra una funzione $f$ e la sua approssimata.

Sia $f$ derivabile $n+1$ volte in $I$ e $f^{(n)}$ continua, allora: $$\forall x\in I,\exists c\in I:f(x)=T_{n,x_0}(x)+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$$ dove il secondo addendo è il resto in forma di Lagrange.