Integrali doppi

Gli integrali definiti in $\mathbb{R}$ possono estendersi in ${\mathbb{R}}^2$, con l'integrale doppio per una $f:[a,b]\times [c,d]\to \mathbb{R}$, $${\iint }_{\mathrm{Dom}(f)}f(x,y)dxdy$$ che può essere approssimato con dei parallelepipedi rettangoli (ovvero rettangoli in tre dimensioni), dove $dx$ e $dy$ sono i lati della base, mentre $f(x,y)$ è l'altezza.

L'area sottostante a $f(x,y)$, valutata nella regione $a\le x\le b\wedge c\le y\le d$, cioè: $${\int }_c^d{\int }_a^{b}f(x,y)dxdy$$ può essere pensata come la somma di tutte le aree ${\int }_a^{b}f(x,y_0)dx$ per ogni sezione $y=y_0\in [c,d]$.

Lo stesso vale per le sezioni di $x$, per il teorema di Fubini: $${\int }_c^d{\int }_a^{b}f(x,y)dxdy={\int }_a^b{\int }_c^{d}f(x,y)dydx$$

Per esempio, l'integrale doppio su $[0,1]\times [0,2]$: $$\begin{array}{rl}{\iint }_{[0,1]\times [0,2]}y{e}^{xy}dxdy& ={\int }_0^2{\int }_0^{1}y{e}^{xy}dxdy={\int }_0^2{\left[e^{xy}\right]}_0^{1}dy=\\ & ={\int }_0^2{e}^y-1dy={\left[e^y-y\right]}_0^2=e^2-3\end{array}$$

Oppure, integrando prima rispetto a $y$: $$\begin{array}{rl}{\int }_0^1{\int }_0^{2}y{e}^{xy}dydx& ={\int }_0^1{\left[\frac{y}{x}{e}^{xy}-\frac{1}{x^2}{e}^{xy}\right]}_0^{2}dx={\int }_0^1\frac{2e^{2x}}{x}-\frac{e^{2x}-1}{x^2}dx=\\ & =\underset{t\to 0}{\lim }{\int }_t^1\frac{2e^{2x}}{x}-\frac{e^{2x}-1}{x^2}dx=e^2-3\end{array}$$

A variabili separabili

Quando l'integranda è a variabili separabili, allora: $${\int }_a^b{\int }_c^{d}g(x)h(y)dydx=\left({\int }_a^{b}g(x)dx\right)\left({\int }_c^{d}h(y)dy\right)$$

Per esempio, se: $${\int }_0^1{\int }_0^{2}y{e}^{x}dydx=\left({\int }_0^1{e}^{x}dx\right)\left({\int }_0^{2}ydy\right)={\left[e^x\right]}_0^1\cdot {\left[\frac{y^2}{2}\right]}_0^2=2(e-1)$$