Proiezione

Per ricavare la proiezione di un vettore $A$ su $B$, basta ridimensionare $B$, in modo che la sua norma sia uguale alla proiezione di $A$ su $B$.

Chiamiamo, quindi, $c$ il valore scalare che ridimensionerà $B$ come proiezione di $A$ su $B$: $$||cB||=c||B||=||A||\cdot \cos (\alpha )$$

Sappiamo che $$A\cdot B=||A||\cdot \cos (\alpha )\cdot ||B||\Rightarrow \frac{A\cdot B}{||B||}=||A||\cdot \cos (\alpha )$$ di conseguenza, è possibile sostituire nel valore di $c||B||$: $$c||B||=\frac{A\cdot B}{||B||}\Rightarrow c=\frac{A\cdot B}{||B|{|}^2}=\frac{A\cdot B}{B\cdot B}$$

Un'alternativa è trovare il vettore che va da $cB$ a $A$, cioè $\overrightarrow{(cB)A}=A-cB$. Questo lo si può ottenere sfruttando la proprietà della perpendicolarità: $$(A-cB)\cdot B=0\Rightarrow A\cdot B-cB\cdot B=0\Rightarrow c=\frac{A\cdot B}{B\cdot B}$$