Continuità

Una funzione $f$ è continua in $x_0\in \mathrm{Dom}(f)\subset {\mathbb{R}}^n$ se: $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$$

Esempi

• $$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}{f}_1(x,y)=x^2+y^2-1& \text{se }y>2x\\ f_2(x,y)=-2x-y& \text{se }y\le 2x\end{array}$$ Sappiamo che $f_{1,2}\in C^0$, allora bisogna capire se $f\in C^0$ quando $$\{\begin{array}{l}y=2x\\ f_1(x,y)=f_2(x,y)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y=2x\\ x^2+4x^2-1=-2x-2x\end{array}\Rightarrow x_{1,2}=\frac{1}{5},-1$$ allora $f$ è continua solamente sui punti $(\frac{1}{5},2\cdot \left(\frac{1}{5}\right))$ e $(-1,2\cdot (-1))$ lungo $y=2x$.

• $$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}{f}_1(x,y)=(x^2+y^2-1)(x+y^2-2)& \text{se }xy\ne 0\\ f_2(x,y)=0& \text{se }xy=0\end{array}$$ Perchè $f\in C^0$ allora: $$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}xy=0\\ (x^2+y^2-1)(x+y^2-2)=0\end{array} \\ \Downarrow \\ x=0\iff (y^2-1)(y^2-2)=0\iff y=\pm 1,\pm \sqrt{2} \\ \vee \\ y=0\iff (x^2-1)(x-2)=0\iff x=\pm 1,2 \end{gathered}$$