Coordinate polari

Un'altro modo di rappresentare una curva, è attraverso le coordinate polari: $$v=(x,y)=(\rho \cos (\theta ),\rho \sin (\theta ))$$ dove $\rho \in {\mathbb{R}}^{\ge }$ è la distanza dall'origine al variare di $\theta$, cioè l'angolo di rotazione intorno all'origine.

Di conseguenza, una curva bidimensionale sarà caratterizzata dal parametro $\theta$: $$\begin{array}{rl}r:[0,2\pi [& \to {\mathbb{R}}^2\\ \theta & \mapsto r(\theta )=(f(\theta )\cos (\theta ),f(\theta )\sin (\theta ))\end{array}$$

Operazioni come cambiare il segno di $x$ o $y$ portano a riflettere la curva sugli assi.

Vettore tangente

Il vettore tangente corrisponde alla derivata di $r(\theta )$, cioè: $$r^{\prime }(\theta )=(f^{\prime }(\theta )\cos (\theta )-f(\theta )\sin (\theta ),f^{\prime }(\theta )\sin (\theta )+f(\theta )\cos (\theta ))$$ per cui la velocità scalare sarà: $$v(\theta {)}^2=\Vert r^{\prime }(\theta ){\Vert }^2=f^{\prime }(\theta {)}^2+f(\theta {)}^2$$

Tipi di curva

In questo caso, la curva si dice:

• Regolare se $v(\theta {)}^2=f^{\prime }(\theta {)}^2+f(\theta {)}^2\ne 0$
• Chiusa se $f(a)=f(b)\wedge a=b+2k\pi$
• Semplice se $\nexists {\theta }_1\in I,{\theta }_2\in \mathring{I}:{\theta }_1={\theta }_2+2k\pi \wedge f({\theta }_1)=f({\theta }_2)$