Parametro d'arco

Riparametrizzazione

Se due archi di curva $$\begin{gathered} \begin{array}{rl}{r}_1:[a,b]& \to {\mathbb{R}}^m\\ t& \mapsto r_1(t)\end{array} \\ \begin{array}{rl}{r}_2:[c,d]& \to {\mathbb{R}}^m\\ s& \mapsto r_2(s)\end{array} \end{gathered}$$ hanno lo stesso sostegno $\gamma$, allora esiste una funzione $$\begin{array}{rl}t:[c,d]& \to [a,b]\\ s& \mapsto t=t(s)\end{array}$$ per cui $r_1(t(s))=r_2(s)$ e quindi: $$l(\gamma )={\int }_a^b\Vert r_1^{\prime }(t)\Vert dt={\int }_c^d\Vert r_2^{\prime }(s)\Vert ds$$

Ascissa curvilinea

Come per la lunghezza $l(\gamma )$ da $a$ a $b$, l'ascissa curvilinea (o parametro d'arco) $s:[a,b]\to [0,l(\gamma )]$ per cui $$s(t)={\int }_a^t\Vert r^{\prime }(x)\Vert dx$$ rappresenta la lunghezza da $r(a)$, cioè l'inizio della curva, a $r(t)$, cioè un punto della curva.

Si può quindi riparametrizzare una curva $r:[a,b]\to {\mathbb{R}}^m$ per ottenere la parametrizzazione naturale: $$\begin{array}{rl}r:[0,l(\gamma )]& \to {\mathbb{R}}^m\\ s& \mapsto r(s)=r(t(s))\end{array}$$ dove $t(s)$ è la funzione inversa di $s$, cioè $t:[0,l(\gamma )]\to [a,b]$ ricavabile con la derivata inversa: $$t^{\prime }(s)=\frac{1}{s^{\prime }(t)}=\frac{1}{\Vert r^{\prime }(t)\Vert }\Rightarrow t(s)=\int \frac{1}{\Vert r^{\prime }(t)\Vert }ds$$

Quindi, attraverso questa riparametrizzazione, è possibile trovare ogni punto appartenente a $\gamma$, con una velocità scalare costante $v(s)=\Vert r^{\prime }(s)\Vert =1$, specificando come parametro la lunghezza variabile $s$.

Per esempio, se $r(t)=(2t,5t-6)$ con $t\in [0,1]$ allora: $$s(t)={\int }_0^t\Vert r^{\prime }(x)\Vert dx=\sqrt{29}t$$ e, dato che $\Vert r^{\prime }(t)\Vert$ è costante (per cui $r(s)$ può essere trovato), $t(s)=\int \frac{1}{\sqrt{29}}ds=\frac{s}{\sqrt{29}}$. Di conseguenza, la parametrizzazione naturale sarà: $$r(s)=r(t(s))=\left(\frac{2s}{\sqrt{29}},\frac{5s}{\sqrt{29}}-6\right)$$