Integrali impropri

Sia $f\in C^0:[a,b]\to \mathbb{R}$, si dice integrale improprio l'integrale $${\int }_a^{+\infty }f(x)dx=\underset{t\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{t}f(x)dx=l\in \mathbb{R}$$ per cui la funzione si dice integrabile a $+\infty$.

Quando invece, è posto su un punto di discontinuità $c\in [a,b]$: $${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{t\to c^{-}}{\lim }{\int }_a^{t}f(x)dx+\underset{t\to c^{+}}{\lim }{\int }_t^{b}f(x)dx$$

Allo stesso modo, se l'intervallo di integrazione è $\mathbb{R}$: $${\int }_{\mathbb{R}}f(x)dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=\underset{t\to -\infty }{\lim }{\int }_t^{0}f(x)dx+\underset{t\to +\infty }{\lim }{\int }_0^{t}f(x)dx$$

Esempio

Con il teorema del confronto è possibile dire se un integrale improprio diverge o converge, per esempio: $$s_n=\sum _{n=2}^{+\infty }\frac{1}{n}\le {\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x}dx\le S_n=\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n}$$ dove $s_n$ sono i plurirettangoli inscritti, mentre $S_n$ sono i plurirettangoli circoscritti.

Sapendo che $s_n$ diverge, allora possiamo dire che anche ${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x}dx$ diverge.

Un altro esempio è: $${\int }_0^{+\infty }\sin (x)dx=\underset{t\to +\infty }{\lim }{\int }_0^t\sin (x)dx=\underset{t\to +\infty }{\lim }-\cos (t)+\cos (0)$$ che non ha soluzione perchè ${\lim }_{t\to +\infty }\cos (t)$ oscilla tra $[-1,1]$ e quindi $\sin (x)$ non è integrabile a $+\infty$.

Teorema delle serie armoniche

Visto l'esempio precedente, sfruttando le serie armoniche è possibile determinare il criterio di convergenza dell'integrale improprio.

Per cui, nel caso di asintoti orizzontali, $${\int }_a^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx$$ converge se $p>1$ e diverge $p\le 1$.

Mentre, nel caso di asintoti verticali, $${\int }_0^a\frac{1}{x^p}dx$$ converge se $p<1$ e diverge $p\ge 1$.

Per esempio, ${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{\sqrt[3]{x}}dx$ diverge perchè $\frac{1}{3}\le 1$.

Teorema del confronto con funzioni simili

Attraverso il teorema del confronto è possibile determinare il carattere dell'integrale tramite una funzione simile.

Per esempio, dell'integrale improprio $${\int }_2^{+\infty }\frac{{\cos }^2(x)}{x^2}dx$$ sappiamo che ${\cos }^2(x)\le 1$ perchè oscilla in $[0,1]$, infatti: $$\frac{{\cos }^2(x)}{x^2}\le \frac{1}{x^2},\forall x>1$$ e sapendo che $\frac{1}{x^2}$ converge, anche $\frac{{\cos }^2(x)}{x^2}$ converge.

Un altro esempio è: $${\int }_2^{+\infty }\frac{1+{\cos }^2(x)}{\sqrt{x}(2-{\sin }^4(x))}dx$$ per cui, dato che $$\frac{1}{2\sqrt{x}}\le \frac{1+{\cos }^2(x)}{\sqrt{x}(2-{\sin }^4(x))}$$ allora l'integrale diverge, sapendo che anche $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ diverge.