Funzioni

Parte dell'argomento è già stato trattato nella parte di Calcolo 1.

Funzioni identità

Una funzione si dice identità di $A$ quando $$\begin{array}{rl}{i}_A:& A\to A\\ & x\mapsto i_A(x)=x\end{array}$$ ed è quindi biettiva.

Funzione inclusione

Si dice inclusione invece, quando porta $x$ da un dominio $A\subseteq B$ ad un codominio $B$: $$\begin{array}{rl}j:& A\to B\\ & x\mapsto j(x)=x\end{array}$$ e quindi "porta" gli elementi da $A$ a $B$.

Funzioni di arrotondamento

L'arrotondamento in difetto è espresso dalla funzione floor $$\begin{array}{rl}\lfloor \rfloor :& \mathbb{R}\to \mathrm{Z}\\ & x\mapsto \lfloor x\rfloor =max(\{z\in \mathbb{Z}|z\le x\})\end{array}$$

Mentre quello in eccesso è espresso dalla funzione ceil $$\begin{array}{rl}\lceil \rceil :& \mathbb{R}\to \mathrm{Z}\\ & x\mapsto \lceil x\rceil =min(\{z\in \mathbb{Z}|x\le z\})\end{array}$$

Funzioni composte

$$f:A\to B,g:B\to C$$ $$\begin{array}{rl}h:& A\to C\\ & x\mapsto (g\circ f)(x)=g(f(x))\end{array}$$

Nelle funzioni composte non vale la proprietà commutativa, perchè $(g\circ f)(x)\ne (f\circ g)(x)$, ma vale la proprietà associativa, perchè $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$.

Quando $(f^2)(x)=(f\circ f)(x)=f(f(x))=f(x)$, allora $f$ si dice idempotente.

Se le funzioni coinvolte sono suriettive o iniettive lo sarà anche la funzione composta tra le due.

Esempio

$$\begin{array}{rl}f:& \mathbb{R}\to \mathbb{R}\\ & x\mapsto f(x)=ax+b,a\ne 0\end{array}$$

1. Iniettiva

   Perchè la funzione sia iniettiva, deve valere che $$\forall x_1,x_2\in \mathbb{R},f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$$ di conseguenza si suppone che $f(x_1)=f(x_2)$.

   $$f(x_1)=f(x_2)\iff a{x}_1+b=a{x}_2+b\iff x_1=x_2,a\ne 0$$ e quindi lo è.

2. Suriettiva

   Perchè lo sia deve valere che $$\forall y\in \mathbb{R},\exists x\in \mathbb{R}:y=f(x)$$ per cui basta assicurarsi che per tutte le $y$ esista una $x$: $$y=ax+b\iff y-b=ax\iff x=\frac{y-b}{a},a\ne 0$$ e quindi lo è.

   Se $a=0$, allora la proprietà non varrebbe per tutte le $y$.