Potenze

$$\begin{array}{rl}f:& D\to \mathbb{R}\\ & x\mapsto f(x)=x^n\end{array}$$ con $n\in \mathbb{R}$, per cui valgono le proprietà:

• $x^{n+m}=x^n\cdot x^m$
• $(x^n{)}^m=x^{nm}$
• $n<m\Rightarrow \{\begin{array}{ll}{x}^n<x^m& \text{se }x>1\\ x^n>x^m& \text{se }0<x<1\end{array}$, che nel secondo caso è possibile trasformare l'argomento in modo che segui il primo caso: ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{-n}>{\left(\frac{1}{x}\right)}^{-m}\Rightarrow -n>-m\Rightarrow n<m$.
• $f$ si dice polinomio di grado $n$ se $f(x)=a_0+a_{1}x+...+a_n{x}^n={\sum }_{i=0}^n{a}_i{x}^i$

Il dominio sarà $D=\mathbb{R}$ e l'immagine: $$\mathrm{Im}(f)=\{\begin{array}{ll}[0,+\infty )& \text{se }n\text{ pari}\\ \mathbb{R}& \text{se }n\text{ dispari}\end{array}$$

Esponente naturale

Nel caso in cui $n\in \mathbb{N}$, la funzione equivale a $x^n={\prod }^{n}x=x\cdot x\cdot ...\cdot x$.

Per cui, se $n$ è:

• pari, allora $f$ è pari e strettamente crescente con $f(x)\ge 0$
• dispari, allora $f$ è dispari e strettamente crescente

Esponente negativo

La funzione $f(x)=x^{-n}=\frac{1}{x^n}$ avrà dominio $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$ e immagine: $$\mathrm{Im}(f)=\{\begin{array}{ll}(0,+\infty )& \text{se }n\text{ pari}\\ \mathbb{R}\setminus \{0\}& \text{se }n\text{ dispari}\end{array}$$

Esponente $\frac{1}{n}$

La funzione $f(x)=x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}$, avrà proprietà: $$\{\begin{array}{llc}D=[0,+\infty ),& \mathrm{Im}(f)=[0,+\infty )& \text{se }n\text{ pari}\\ D=\mathbb{R},& \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}& \text{se }n\text{ dispari}\end{array}$$

Esponente in $\mathbb{R}$

Quando l'esponente $\alpha \in \mathbb{R}$, il modo per calcolarne il valore è di tendere al numero razionale in $\mathbb{Q}$ più vicino: $$f(x)=x^{\alpha }=\{\begin{array}{ll}\sup (\{x^q:q\le \alpha ,q\in \mathbb{Q}\})& \text{se }x\ge 1\\ \inf (\{x^q:q\le \alpha ,q\in \mathbb{Q}\})& \text{se }0<x<1\end{array}$$

Un'altra tecnica, è quella di ridefinire $x^{\alpha }$: $$x^{\alpha }=e^{\alpha \cdot \ln x}$$ cosa che impone che $x>0$, motivo per cui diventa proprietà nella maggior parte dei casi.

Esponente razionale

La funzione $f(x)=x^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{x^m}$, con $\frac{m}{n}\in \mathbb{Q}$ avrà dominio $D=[0,+\infty )$ per la proprietà $x>0$, e immagine $\mathrm{Im}(f)=[0,+\infty )$, che escluderanno lo $0$ quando $\frac{m}{n}<0$.