Curve parametriche

Una curva è una funzione vettoriale che associa un parametro $t$ ad un punto nel piano $m$-dimensionale: $$\begin{array}{rl}r:& I\subseteq \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^m\\ & t\mapsto (r_1(t),r_2(t),...,r_m(t))\end{array}$$

Per disegnare la curva va usato il sostegno alla curva parametrica $\gamma$, che corrisponde al grafico senza $t$: $$\gamma (r)=r(I)=\mathrm{Im}(r)\subset \mathrm{Codom}(r)$$ infatti, se $r(t)\in {\mathbb{R}}^2$, il sostegno $\gamma (r)\subset {\mathbb{R}}^2$, mentre il grafico $G(r)\subset {\mathbb{R}}^3$ perchè anche $t$ venga tracciata.

Per esempio, se $r(t)=(t^2+t,2t-1)$ e $-1\le t\le 1$:

si ottiene un'arco di curva di una parabola capovolta, perchè $t$ appartiene ad un intervallo $I\ne \mathbb{R}$.

Altri esempi includono:

• $r(\theta )=(r\cos (\theta )+x_0,r\sin (\theta )+y_0)$, cioè la circonferenza $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=r^2$.
• $r(\theta )=(a\cos (\theta )+x_0,b\sin (\theta )+y_0)$, cioè l'ellissi $\frac{(x-x_0{)}^2}{a^2}+\frac{(y-y_0{)}^2}{b^2}=1$
• $r(t)=p+v(t-t_0)$, cioè la retta che passa per $p$ al tempo $t_0$ in direzione del vettore $v$

Per esempio, se $r(t)=(t^2,t)$, la tangente su $t_0=1$ sarà $s(t)=(1,1)+(2,1)(t-1)=(2t-1,t)$.