Secondo ordine

Una equazione differenziale di secondo ordine si dice lineare se ha forma: $$\begin{gathered} a_2(t)y^{\prime \prime }+a_1(t)y^{\prime }+a_0(t)y=g(t) \\ \Downarrow \\ {y}^{\prime \prime }+a(t)y^{\prime }+b(t)y=f(t) \end{gathered}$$ con $a_2(t)\ne 0$, perchè altrimenti non è equazione differenziale.

L'integrale generale sarà composto da due parametri $c_1$ e $c_2$, di conseguenza il problema di Cauchy sarà formato da due condizioni iniziali: $$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime \prime }+a(t)y^{\prime }+b(t)y=f(t)\\ y(t_0)=y_0\\ y^{\prime }(t_0)=v_0\end{array}$$

Lineari a coefficienti costanti

Un'equazione è lineare a coefficienti costanti quando: $$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=f(t)$$ con $a,b\in \mathbb{R}$.

Viene detta omogenea se $f(t)=0$ e completa se $f(t)\ne 0$.

Lineari omogenee

Se $f(t)=0$, si può assumere che ogni soluzione sia in forma $y(t)=e^{rt}$, per cui $$\begin{gathered} r^2{e}^{rt}+ar{e}^{rt}+b{e}^{rt}=0 \\ \Downarrow \\ {e}^{rt}(r^2+ar+b)=0 \end{gathered}$$ deve avere soluzioni.

Dato che $e^{rt}>0,\forall r,t\in \mathbb{R}$, rimane l'equazione caratteristica: $$\begin{gathered} r^2+ar+b=0 \\ \Downarrow \\ \Delta =a^2-4b \end{gathered}$$

• Se $\Delta >0$, allora si trova $r_{1,2}$ da cui si ricava: $$y(t)=c_1{e}^{r_{1}t}+c_2{e}^{r_{2}t}$$ come combinazione lineare di $y_1=e^{r_{1}t}$ e $y_2=e^{r_{2}t}$, dato che: $$L(y_1)=0\wedge L(y_2)=0\Rightarrow L(c_1{y}_1+c_2{y}_2)=0$$ con $0=f(t)$ (perchè omogenea), e $L(y)=y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by$.
  
  Per esempio, con $z^{\prime \prime }+2z^{\prime }-3z=0$ si ha che: $$r^2+2r-3=0\iff z(t)=c_1{e}^{-3t}+c_2{e}^t$$ perchè $\Delta =16>0$ e $r_{1,2}=-3,1$.

• Se $\Delta =0$, allora $r_1=r_2$ e si ha: $$y(t)=c_1{e}^{r_{1}t}+c_{2}t{e}^{r_{1}t}$$ dato che $y_2=t{e}^{r_{1}t}$ è indipendente da $y_1$ (per generare lo spazio delle soluzioni) e $L(y_2)=0$.
  
  Per esempio, con $z^{\prime \prime }+2\sqrt{3}{z}^{\prime }+3z=0$ si ha: $$r^2+2\sqrt{3}r+3=0\iff z(t)=c_1{e}^{-\sqrt{3}t}+c_{2}t{e}^{-\sqrt{3}t}$$

• Se $\Delta <0$, le soluzioni appartengono a $\mathbb{C}$, per cui: $$r_1=\alpha +i\beta ,r_2=\alpha -i\beta$$ da cui si ricavano le soluzioni complesse: $$\begin{gathered} y_1(t)=e^{(\alpha +i\beta )t},y_2(t)=e^{(\alpha -i\beta )t} \\ \Downarrow \\ y(t)=c_1{y}_1(t)+c_2{y}_2(t)=c_1{e}^{\alpha t}(\cos (\beta t)+i\sin (\beta t))+c_2{e}^{\alpha t}(\cos (\beta t)-i\sin (\beta t)) \end{gathered}$$ Si può manipolare $y(t)$ per ottenere due soluzioni reali, ponendo $c_1=c_2=\frac{1}{2}$, $c_1=-c_2=\frac{i}{2}$, sostituendo e semplificando, in modo da formare la seguente combinazione lineare: $$y(t)=c_1{e}^{\alpha t}\cos (\beta t)+c_2{e}^{\alpha t}\sin (\beta t)$$ Per esempio, con $z^{\prime \prime }+2z^{\prime }+3z=0$ si ha: $$r^2+2r+3=0\iff z(t)=c_1{e}^{-t}\cos (\sqrt{2}t)+c_2{e}^{-t}\sin (\sqrt{2}t)$$ dato che $r_1=-1+i\sqrt{2},r_2=-1-i\sqrt{2}\Rightarrow \alpha =-1,\beta =\sqrt{2}$.

Di conseguenza, le soluzioni da unire in combinazione lineare sono:

dove $\alpha =\mathrm{Re}(r_1)=\mathrm{Re}(r_2)$ e $\beta =\mathrm{Im}(r_1)=-\mathrm{Im}(r_2)$.

Lineari complete

Quando $f(t)\ne 0$, si utilizza il metodo di somiglianza per trovare una soluzione particolare $\bar{y}$ da sommare all'integrale generale dell'omogenea associata: $$y(t)=z(t)+\bar{y}(t)=c_1{z}_1(t)+c_2{z}_2(t)+\bar{y}(t)$$

Per somiglianza, $\bar{y}$ dipenderà dalla forma di $f(t)$:

• Polinomiale di grado $n$:

  Perchè assomigli al polinomio va cercata: $$\bar{y}=p_n(t)=\sum _{i=0}^n{\bar{a}}_i{t}^{n-i}={\bar{a}}_0{t}^n+{\bar{a}}_1{t}^{n-1}+{\bar{a}}_2{t}^{n-2}+...+{\bar{a}}_{n-1}t+{\bar{a}}_n$$

  Nel caso in cui $b=0$, bisogna invece cercare $\bar{y}=p_{n+1}(t)$, e se anche $a=0$, va cercato $\bar{y}=p_{n+2}(t)$.

  Per esempio con $y^{\prime \prime }+3y^{\prime }-y=2t^2-1$, si cerca: $$\begin{gathered} \bar{y}=p_2(t)=\bar{a}{t}^2+\bar{b}t+\bar{c} \\ \Downarrow \\ L(\bar{y})=-\bar{a}{t}^2+(6\bar{a}-\bar{b})t+(2\bar{a}+3\bar{b}-\bar{c})=2t^2-1 \\ \Updownarrow \\ \{\begin{array}{l}-\bar{a}=2\\ 6\bar{a}-\bar{b}=0\\ 2\bar{a}+3\bar{b}-\bar{c}=-1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\bar{a}=-2\\ \bar{b}=-12\\ \bar{c}=-39\end{array} \\ \Downarrow \\ \bar{y}=-2t^2-12t-39 \end{gathered}$$

  Mentre con $y^{\prime \prime }+3y^{\prime }=2t^2-1$, la funzione da cercare diventa $\bar{y}=p_{2+1}(t)=\bar{a}{t}^3+\bar{b}{t}^2+\bar{c}t+\bar{d}$.

• Esponenziale in forma $f(t)=k{e}^{nt}$ con $k,n\in \mathbb{R}$:

  In questo caso invece, va cercata: $$\bar{y}=\bar{a}{e}^{nt}$$

  Se però questa forma è già presente nelle soluzioni dell'omogenea associata, va moltiplicata per $t$ finché non compare più tra le soluzioni trovate con $f(t)=0$.

  Per esempio, con $y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+y=e^{-t}$: $$\bar{y}=\bar{a}{t}^2{e}^{-t}=\frac{1}{2}{t}^2{e}^{-t}$$ perchè entrambe $z_1=e^{-t}$ e $z_2=t{e}^{-t}$ sono soluzioni dell'omogenea associata.

• Trigonometrica in forma $f(t)=k_1\sin (\omega t)+k_2\cos (\omega t)$ con $k_{1,2}\in \mathbb{R}$ (incluso lo zero):

  La funzione particolare da cercare sarà: $$\bar{y}=\bar{a}\sin (\omega t)+\bar{b}\cos (\omega t)$$

  Come l'esponenziale, se compare nell'integrale generale dell'omogenea associata, va moltiplicata per $t$.

  Per esempio, con $y^{\prime \prime }+y=2\cos (t)$: $$\bar{y}=t(\bar{a}\cos (t)+\bar{b}\sin (t))=t\sin (t)$$ perchè $\Delta <0$.

Sovrapposizione degli effetti

Nel caso in cui l'equazione differenziale sia in forma: $$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=f_1(t)+f_2(t)$$ la soluzione particolare risulterà essere semplicemente: $$\bar{y}(t)={\bar{y}}_1(t)+{\bar{y}}_2(t)$$ dove ${\bar{y}}_1$ e ${\bar{y}}_2$ sono le soluzioni particolari dell'equazione associata a $f_1(t)$ e $f_2(t)$.