Statistica Z

Basta che $\hat{\theta }$ sia asintoticamente non distorto e normale, per ricavare gli intervalli dalla statistica Z: $$Z=\frac{\hat{\theta }-\theta }{\mathrm{SE}(\hat{\theta })}$$ ovvero $\hat{\theta }$ standardizzato, trovando il quantile $z_{\alpha /2}$ di livello $\frac{\alpha }{2}$ con qnorm(1 - 𝛼/2).

Con questo si trova che $\hat{\theta }$ ha margine di errore $z_{\alpha /2}\mathrm{SE}(\hat{\theta })$, da cui si ricava che l'intervallo di confidenza è: $$\begin{array}{rl}A& =\hat{\theta }-z_{\alpha /2}\mathrm{SE}(\hat{\theta })\\ B& =\hat{\theta }+z_{\alpha /2}\mathrm{SE}(\hat{\theta })\end{array}\iff \hat{\theta }\pm z_{\alpha /2}\mathrm{SE}(\hat{\theta })$$

Intervalli per la media

Su $\bar{X}$ la statistica Z si può usare se è normale o se $n$ è grande, per il teorema del limite centrale, per cui: $$\bar{X}\pm z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$ dato che $\mathrm{SE}(\hat{\mu })=\sqrt{\frac{{\sigma }^2}{n}}$.

Inoltre, quando $\sigma$ è ignoto, per $n$ grande è possibile calcolare il livello approssimato $1-\alpha$ con: $$\hat{\theta }\pm z_{\alpha /2}\widehat{\mathrm{SE}}(\hat{\theta })$$ che per la media campionaria sarà $\bar{X}\pm z_{\alpha /2}\frac{S}{\sqrt{n}}$ e per la differenza di medie $\bar{X}-\bar{Y}\pm z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{S_X^2}{n}+\frac{S_Y^2}{m}}$.

Differenza di medie

Dati due campioni indipendenti $X_1,...,X_n$ e $Y_1,...,Y_m$ e il parametro differenza di medie $$\theta ={\mu }_X-{\mu }_Y\Rightarrow \hat{\theta }=\bar{X}-\bar{Y}$$ si può ricavare l'intervallo di confidenza: $$(\bar{X}-\bar{Y})\pm z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{{\sigma }_X^2}{n}+\frac{{\sigma }_Y^2}{m}}$$ dato che $\mathrm{Var}(\hat{\theta })=\mathrm{Var}(\bar{X})+\mathrm{Var}(\bar{Y})$.

Margine di errore

La dimensione del campione permette di limitare il margine di errore a $\Delta$, infatti: $$z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\le \Delta \Rightarrow n\ge {\left(\frac{z_{\alpha /2}\sigma }{\Delta }\right)}^2$$ che sarà arrotondato per eccesso perchè $n\in \mathbb{N}$.

Intervalli di proporzioni

Una situazione in cui $\sigma$ è ignota è una quella della stima di una proporzione campionaria di $X_1,...,X_n$: $$\hat{p}=\frac{n_A}{n}$$ dove $n_A$ è il numero di $X_i$ per cui la proprietà $A(X_i)$ è vera, allora si può dire che è una Bernoulliana: $$X_i=\{\begin{array}{ll}1& \text{se }A(X_i)\\ 0& \text{se }\neg A(X_i)\end{array}$$ con $E(X_i)=p$ e $\mathrm{Var}(X_i)=p(1-p)$, da cui si ha che $\hat{p}=\bar{X}$ è non distorto e asintoticamente normale: $$\widehat{\mathrm{SE}}(\hat{p})=\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=\sqrt{\frac{\bar{X}(1-\bar{X})}{n}}\Rightarrow \bar{X}\pm z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{\bar{X}(1-\bar{X})}{n}}$$

Differenza di proporzioni

Dati due campioni indipendenti di dimensione $n_1$ e $n_2$ e il parametro differenza di proporzioni $$\theta =p_1-p_2\Rightarrow \hat{\theta }={\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2$$ si può ricavare l'intervallo di confidenza, come per la media: $$({\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2)\pm z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{{\hat{p}}_1(1-{\hat{p}}_1)}{n_1}+\frac{{\hat{p}}_2(1-{\hat{p}}_2)}{n_2}}$$

Margine di errore

In questo caso limitare il margine di errore a $\Delta$, porta la dimensione ad essere: $$z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\le \Delta \Rightarrow n\ge \underset{\hat{p}(1-\hat{p})}{\underbrace{0.25}}{\left(\frac{z_{\alpha /2}}{\Delta }\right)}^2$$ dove $0.25$ è il valore massimo assunto da $\hat{p}(1-\hat{p})$ per $0\le \hat{p}\le 1$.

Intervalli di verosimiglianza

Se la stima non avviene con la media $\bar{X}$, si può usare lo stimatore $\hat{\theta }$ di massima verosimiglianza, perchè è asintoticamente non distorto e normale verso $\mathrm{N}(\theta ,I(\theta {)}^{-1})$, per trovare l'intervallo di confidenza: $$\hat{\theta }\pm z_{\alpha /2}I(\hat{\theta }{)}^{-\frac{1}{2}}\iff \hat{\theta }\pm z_{\alpha /2}J(\hat{\theta }{)}^{-\frac{1}{2}}$$