Cardinalità

L'argomento è già stato trattato superficialmente nella parte di Calcolo 1.

Due insiemi $A$ e $B$ si dicono equipotenti (o equipollenti) se hanno la stessa cardinalità, cioè: $$|A|=|B|\iff \exists f:A\to B\text{ biettiva}$$

Ricavare la cardinalità significa contare gli elementi dell'insieme, che a sua volta consiste nel costruire una biezione.

Biezione

Creare una biezione di un insieme, consiste nell'associare ogni elemento ad un numero $n\in \mathbb{N}$: $$|A|=n\iff \exists f:A\to \hat{n}\text{ biettiva}$$ dove $\hat{n}=\{1,2,...,n\}$.

Per esempio, la cardinalità di $A$ è $n$ se ogni elemento può essere associato singolarmente ad un elemento di $\hat{n}$ e quindi esiste una biezione: $$\begin{array}{cccccc}A=\{& a,& b,& c,& ...& \}\\ & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\ \hat{n}=\{& 1,& 2,& 3,& ...& \}\end{array}$$ e quindi $\forall x\in A,\exists !y\in \hat{n}:y=f(x)$, per cui l'insieme si dice numerabile.

Insiemi infiniti

Due insiemi infiniti $A$ e $B$ hanno la stessa cardinalità, quando: $$|A|=|B|\iff \exists f:A\to B\text{ iniettiva}\wedge \exists g:B\to A\text{ iniettiva}$$

Per esempio, sia $P$ l'insieme dei numeri pari, allora $|P|=|\mathbb{N}|$ anche se $P\subset \mathbb{N}$.

Quindi qualsiasi insieme sia numerabile e equipollente a $\mathbb{N}$, avrà la cardinalità di $\mathbb{N}$: $$|\mathbb{N}|={\aleph }_0$$

Esistono più tipi di cardinalità infinite $\aleph$, dato che: $$|\mathbb{N}|\ne |\mathbb{R}|=|P(\mathbb{N})|=2^{{\aleph }_0}={\aleph }_1$$ e si dicono numeri cardinali transfiniti perchè $\exists n:n>{\aleph }_0$.