Derivate

Si dice derivata parziale di una funzione $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$: $$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h,y_0)+f(x_0,y_0)}{h}$$ cioè il coefficiente angolare di $f$ sul punto $x_0$ intorno alle $x$ su una sezione $y_0$.

Per esempio, se $f(x,y)=2x{y}^2+x^3$ allora $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2y^2+3x^2$ e $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=4xy$.

Vettore gradiente

Il vettore gradiente di una funzione $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ corrisponde a: $$\nabla f(x_1,x_2,...,x_n)=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x_1}\\ \frac{\partial f}{\partial x_2}\\ ⋮\\ \frac{\partial f}{\partial x_n}\end{array}\right)$$ cioè il vettore che, partendo da un punto $(x_1,...,x_n)$, indica la direzione di salita più rapida. Questo non corrisponde al vettore tangente, perchè indica la direzione che il punto deve prendere nel dominio di $f$.