Momenti

Il $k$-esimo momento di popolazione è definito come: $${\mu }_k=E(X^k)$$ mentre il suo momento campionario è: $$M_k=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^k$$ entrambi con la loro variante centrale, cioè ${\mu }_k^{\prime }=E((X-\mu {)}^k)$ e $M_k^{\prime }=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^k$.

Da questi si può quindi notare che $M_1=\bar{X}$ e $M_2^{\prime }=\frac{n-1}{n}{S}^2\approx S^2$.

Per cui, il metodo dei momenti stima $\theta$ confrontando più ${\mu }_k$ con gli $M_k$: $$\{\begin{array}{l}{\mu }_1=M_1\\ ...\\ {\mu }_k=M_2\end{array}$$

Per esempio, per stimare $\alpha$ e $\lambda$ di $X\sim \mathrm{Ga}(\alpha ,\lambda )$ dell'esempio precedente basta risolvere: $$\{\begin{array}{l}{\mu }_1=m_1\\ {\mu }_2=m_2^{\prime }\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\frac{\alpha }{\lambda }=\bar{x}\\ \frac{\alpha }{{\lambda }^2}=\frac{29}{30}{s}^2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\frac{\alpha }{\lambda }=48.23\\ \frac{\alpha }{{\lambda }^2}=703.2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\hat{\alpha }=3.42\\ \hat{\lambda }=0.07\end{array}$$ che risulta nella distribuzione: