Serie

Una serie è la somma di tutti i termini di una successione: $$\sum _{n=0}^{+\infty }{a}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }{s}_n$$ dove $(s_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ è una successione di somme parziali.

Una somma parziale $s_n$ di $a_n$ corrisponde a: $$s_n=a_0+a_1+a_2+...+a_n$$ quindi la somma dei termini fino ad $n$ (e.g. $s_2=a_0+a_1+a_2$).

Carattere di una serie

Avendo la serie: $$\sum _{n=0}^{+\infty }{a}_n=l$$ il carattere è stabilito da:

• $l\in \mathbb{R}$, allora è convergente
• $l=\pm \infty$, allora è divergente
• $\nexists {\lim }_{x\to +\infty }{s}_n$, allora è indeterminata

Serie telescopica

Una serie telescopica si dice tale se, di tutti i termini, rimane parte del primo e dell'ultimo, come nel caso della serie di Mengoli, che corrisponde a: $$\begin{array}{rl}& \sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n(n+1)}=\left(1-\cancel{\frac{1}{2}}\right)+\left(\cancel{\frac{1}{2}}-\cancel{\frac{1}{3}}\right)+...+\left(\cancel{\frac{1}{n}}-\frac{1}{n+1}\right)+...=\\ =& \sum _{n=1}^{+\infty }\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1\end{array}$$

Serie geometrica

Avendo la somma parziale, $$s_n=\sum _{i=0}^n{q}^i=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$ allora la serie geometrica sarà: $$\sum _{n=0}^{+\infty }{q}^n=\underset{n\to +\infty }{\lim }{s}_n=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{1-q}& \text{se }|a|<1\\ +\infty & \text{se }a\ge 1\\ \nexists & \text{se }a\le -1\end{array}$$

Serie a termini di segno costanti

Sia $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ una successione con tutti i termini $a_n>0$ oppure tutti $a_n<0$, allora: $$(s_n)\text{ eˋ monotona}\Rightarrow \sum _n{a}_n\text{ non eˋ indeterminata}$$

Criteri di convergenza a segno costante

Condizione necessaria per la convergenza

Se una serie ${\sum }_n{a}_n$ converge, allora si può dire che $a_n$ è infinitesimo, cioè ${\lim }_{n\to +\infty }{a}_n=0$. Sapendo che $a_n$ è infinitesimo però, non si può dire se la serie converge o no.

Criterio del confronto

Siano $(a_n)$ e $(b_n)$ due successioni tali che $0<a_n\le b_n$, allora in base all'andamendo di una si può ricavare l'andamento dell'altra:

• ${\sum }_n{b}_n$ converge, allora anche ${\sum }_n{a}_n$ converge
• ${\sum }_n{a}_n$ diverge, allora anche ${\sum }_n{b}_n$ diverge

Algebra delle serie

Sapendo che, $$\sum _n{a}_n=l\wedge \sum _n{b}_n=m$$ sono due serie convergenti, allora: $$\sum _n(\lambda a_n+\beta b_n)=\lambda l+\beta m$$ con $\lambda ,\beta \in \mathbb{R}$.

Serie armonica generalizzata

La serie $$\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^{\alpha }},\alpha \in \mathbb{R}$$ converge se $\alpha >1$ e diverge se $0<\alpha \le 1$, di conseguenza si può pensare a $$\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n}$$ come ad un separatore tra serie armoniche che convergono e quelle che divergono.

Criterio del rapporto e della radice

Avendo una serie ${\sum }_n{a}_n$ a termini positivi e $$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}=l\vee \underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt[n]{a_n}=l$$ allora è possibile determinare il carattere della serie:

• $l<1$, la serie converge
• $l>1$, la serie diverge
• $l=1$, nulla è certo

Criteri di convergenza a segno qualsiasi

Serie assolutamente convergente

Quando la serie ${\sum }_n{a}_n$ è assolutamente convergente, e quindi $$\sum _n|a_n|\text{ converge}\Rightarrow \sum _n{a}_n\text{ converge}$$

Criterio di Leibniz

Se ${\sum }_n{a}_n$ è una serie a termini di segno alterno, allora: $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=0\wedge |a_{n+1}|<|a_n|\Rightarrow \sum _n{a}_n\text{ converge}$$ cioè se $a_n$ è infinitesimo.