Matrice aggiunta e inversa

Matrice aggiunta

La matrice aggiunta (adjoint matrix) di $A$ corrisponde alla trasposta dei cofattori: $$\mathrm{adj}(A)=C^T$$

Matrice inversa

La matrice inversa di una matrice $A$, è quella matrice per cui: $$A\times A^{-1}=I$$

Se $A$ è quadrata e $\det (a)\ne 0$, allora l'inversa esiste e corrisponde a: $$A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}\cdot \mathrm{adj}(A)$$

Esempio

Sia $A$ una matrice quadrata $3\times 3$: $$A=\left[\begin{array}{ccc}0& 2& 0\\ 6& 0& 8\\ 5& 1& 5\end{array}\right]$$ allora per trovare l'inversa serve:

1. Il determinante:

$$\det (A)=0-2\cdot \det \left(\left[\begin{array}{cc}6& 8\\ 5& 5\end{array}\right]\right)+0=-2\cdot (6\cdot 5-8\cdot 5)=20$$

2. La matrice dei cofattori:

$$\begin{array}{rl}C& =\left[\begin{array}{ccc}{M}_{11}& -M_{12}& M_{13}\\ -M_{21}& M_{22}& -M_{23}\\ M_{31}& -M_{32}& M_{33}\end{array}\right]=\\ & =\left[\begin{array}{ccc}0\cdot 5-8\cdot 1& -(6\cdot 5-8\cdot 5)& 6\cdot 1-0\cdot 5\\ -(2\cdot 5-0\cdot 1)& 0\cdot 5-0\cdot 5& -(0\cdot 1-2\cdot 5)\\ 2\cdot 8-0\cdot 0& -(0\cdot 8-0\cdot 6)& 0\cdot 0-2\cdot 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-8& 10& 6\\ -10& 0& 10\\ 16& 0& -12\end{array}\right]\end{array}$$

3. La sua trasposta:

$$C^T=\left[\begin{array}{ccc}-8& -10& 16\\ 10& 0& 0\\ 6& 10& -12\end{array}\right]$$

Per cui, infine:

$$A^{-1}=\frac{1}{20}\cdot \left[\begin{array}{ccc}-8& -10& 16\\ 10& 0& 0\\ 6& 10& -12\end{array}\right]=\frac{1}{10}\cdot \left[\begin{array}{ccc}-4& -5& 8\\ 5& 0& 0\\ 3& 5& -6\end{array}\right]$$