Algebra degli integrali

Alcune delle operazioni integrabili tra due funzioni $f$ e $g$, comprendono:

• Proprietà di linearità: $$\int af(x)+bg(x)dx=a\int f(x)dx+b\int g(x)dx$$

• Funzione composta: $$f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)dx=f(g(x))+c$$

• Integrazione per parti: $$\int f^{\prime }(x)g(x)dx=f(x)g(x)-\int f(x)g^{\prime }(x)dx$$ che è ricavabile attraverso l'integrazione della derivata del prodotto.

  Per esempio: $$\begin{array}{rl}\int \log (x)dx& =\int 1\cdot \log (x)dx=\int (x{)}^{\prime }\cdot \log (x)dx=\\ & =x\log (x)-\int x\cdot \frac{1}{x}dx=x\log (x)-x+c\end{array}$$

• Integrazione per sostituzione:

  Lo scopo di questo metodo è quello di sostituire con $t$ quello che da più fastidio, per esempio: $$\int -\frac{1}{\sqrt{1-x}}dx=\int \frac{1}{t}2tdt=2t+c=2\sqrt{1-x}+c$$ se e solo se: $$t=\sqrt{1-x}\Rightarrow t^2=1-x\Rightarrow 2tdt=-1dx$$

• Integrazione di funzioni razionali:

  In base al gradi del numeratore $N(x)$ e del denominatore $D(x)$, l'integrazione avviene con:

  • La divisione tra polinomi, se $\mathrm{deg}(N(x))\ge \mathrm{deg}(D(x))$
  • Il metodo A e B, altrimenti