Assiomi

Un assioma è un enunciato, che anche se non dimostrato, è considerato vero perchè evidente.

Sia $G$ un insieme e $\ast$ un'operazione binaria (operazione con due operandi) appartenente ad un gruppo $(G,\ast )$.
$\forall a,b\in G,a\ast b\in G\Rightarrow$ sono soddisfatti i seguenti assiomi:

1. Proprietà associativa: $(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c),\forall a,b,c\in G$
2. Esistenza dell'elemento neutro: $\exists e\in G:a\ast e=a,\forall a\in G$
3. Esistenza dell'inverso: $\forall a\in G,\exists a^{-1}:a\ast a^{-1}=e$ cioè l'elemento neutro

Per cui l'insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$ soddisfa quattro assiomi:

1. Somma ($+$)

   • Associativa: $a+(b+c)=(a+b)+c$
   • Esistenza dell'elemento neutro: $a+0=a$
   • Esistenza dell'inverso: $a+(-a)=0$

   Inoltre, $(\mathbb{R},+)$ è chiamato gruppo commutativo perchè soddisfa anche:

   • Commutativa: $a+b=b+a$

2. Prodotto ($\cdot$)

   • Associativa: $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$
   • Esistenza dell'elemento neutro: $a\cdot 1=a$
   • Esistenza dell'inverso: $a\cdot a^{-1}=1$

   In più, $(\mathbb{R},+,\cdot )$ è chiamato corpo commutativo (o campo) perchè soddisfa anche:

   • Commutativa: $a\cdot b=b\cdot a$
   • Distributiva: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

3. Ordinamento

   L'insieme $\mathbb{R}$ soddisfa anche una relazione d'ordine $(\mathbb{R},\le )$, per cui $x\le y\vee y\ge x$.

   Possiede anche due proprietà per cui $\forall a,b\in \mathbb{R}:a\le b$ si ha:

   • Compatibilità con la somma: $a+c\le b+c,\forall c\in \mathbb{R}$
   • Compatibilità con il prodotto: $a\cdot c\le b\cdot c,\forall c\in {\mathbb{R}}^{+}\cup \{0\}$

   Un insieme che soddisfa anche questo assioma si dice corpo commutativo ordinato, come lo è $\mathbb{R}$.

4. Completezza

   Per ogni coppia di insiemi $A,B$ contenuti in $\mathbb{R}$ tale che $a\le b$ per ogni $a\in A$ e $b\in B$, esiste un elemento $c\in \mathbb{R}$ (detto elemento separatore) tale che $a\le c\le b$.

   Nel caso di $\mathbb{Q}$, esso non soddisfa questo assioma, perchè $\nexists c\in \mathbb{Q}:c^2=2$.

   Quindi, $\mathbb{R}$ rispetta anche questo assioma.