Forma e copertura canonica

Le dipendenze funzionali $F$ sono dette in forma canonica sse per ogni $X\to Y\in F$:

• $|Y|=1$
• $X$ non ha attributi estranei, cioè $\nexists A\in X:X\setminus \{A\}\to Y\in F^{+}$
• $X\to Y$ non è ridondante, cioè $X\to Y\notin (F\setminus \{X\to Y\}{)}^{+}$

Se $G$ è in forma canonica e $F\equiv G$, ovvero equivalgono per $F^{+}=G^{+}$, allora è detta copertura canonica.

Algoritmo

Trovare la copertura canonica di $F$ consiste nel:

1. Iniziare con l'insieme di dipendenze decomposte $G=\left\{X\to A|X\to Y\in F\wedge A\in Y\right\}$
2. Rimpiazzare da $G$ le $X\to A$ per cui $|X|>1$, con $Z\to A$ dove $Z$ è $X$ meno gli attributi estranei, rimuovendo un $B\in X$ alla volta e verificando che comunque $A\in (Z\setminus \{B\}{)}_G^{+}$
3. Rimuovere le $X\to A$ ridondanti, verificando che $A\in X_{G\setminus \{X\to A\}}^{+}$

Esempio

Per esempio, se $F=\{A\to BC,B\to C,A\to B,AB\to C\}$:

1. Decomponendo si ottiene $G=\{A\to C,B\to C,A\to B,AB\to C\}$
2. Si rimpiazza $AB\to C$ con $B\to C$ perchè $C\in B_G^{+}=BC$ finendo senza poter rimuovere $B$
3. Si rimuove $A\to C$ perchè $C\in A_{\{B\to C,A\to B\}}^{+}=ABC$