Derivate

La derivata di una funzione $f$ è l'equazione che restituisce il coefficiente angolare della tangente su un dato punto $x$.

Rette

L'equazione di una retta è: $$y=mx+q,\text{ con }m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$ e passante per un punto $P=(x_0,y_0)$: $$y-y_0=m(x-x_0)$$

Rapporto incrementale

Si dice retta secante al grafico di una funzione $f$, la retta che interseca la funzione in due o più punti.

Il rapporto incrementale su $x_0$ con incremento $x-x_0$, corrisponde al coefficiente angolare della retta secante, che ha una delle due intersezioni sul punto $x_0$ interno al $\mathrm{Dom}(f)$, ed è: $$r(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

Definizione

Avendo una funzione $f:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$, dove $A$ è un intervallo o unione di intervalli e $x_o$ è interno ad $A$, se $$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }r(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$ esiste ed è finito, allora $f$ si dice derivabile in $x_0$.

Un altro modo per scriverlo, ponendo $h=x-x_0$, è: $$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$