Teoremi

1. Teorema di derivabilità

   Una funzione $f$ si dice derivabile se: $$f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)\iff \underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$ e quindi su $x_0$ si ottiene la stessa derivata sia da destra che da sinistra.

2. Teorema di continuità delle funzioni derivabili

   $$f\text{ derivabile in }{x}_0\Rightarrow f\text{ continua su }{x}_0$$ ma non vale il contrario, infatti se è continua non è necessariamente derivabile.

   Al contrario però, $$f\text{ non continua su }{x}_0\Rightarrow f\text{ non derivabile in }{x}_0$$

Esempio

Sia $f$ la funzione di valore assoluto: $$f(x)=|x|=\{\begin{array}{ll}x& \text{se }x\ge 0\\ -x& \text{se }x<0\end{array}$$

La sua derivata sarà divisa in base ai due casi:

• Se $x_0>0$: $$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{|x|-|x_0|}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x-x_0}{x-x_0}=1$$
• Se $x_0<0$: $$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{|x|-|x_0|}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{-x+x_0}{x-x_0}=-1$$
• Se $x_0=0$, va controllata la derivabilità: $$f_{-}^{\prime }(x_0)=-1\ne f_{+}^{\prime }(x_0)=1$$ di conseguenza $f$ non è derivabile su $x_0=0$ e quindi i punti di derivabilità sono $\mathbb{R}\setminus \{0\}$.