Rango

Il rango o caratteristica di una matrice indica il massimo numero di righe linearmente indipendenti. Questo vale anche per le colonne, infatti: $$\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A^T)$$

Un metodo per calcolare il rango è quello di trasformare una matrice in scala tramite le operazioni elementari per riga, per esempio: $$\begin{array}{rlrl}A=\left[\begin{array}{cccc}2& 4& 1& 3\\ -1& -2& 1& 0\\ 0& 0& 2& 2\\ 3& 6& 2& 5\end{array}\right]\stackrel{R_4-R_1\to R_4}{\to }& \left[\begin{array}{cccc}2& 4& 1& 3\\ -1& -2& 1& 0\\ 0& 0& 2& 2\\ 1& 2& 1& 2\end{array}\right]& \stackrel{R_4+R_2\to R_4}{\to }& \left[\begin{array}{cccc}2& 4& 1& 3\\ -1& -2& 1& 0\\ 0& 0& 2& 2\\ 0& 0& 2& 2\end{array}\right]\\ \stackrel{R_4-R_3\to R_4}{\to }& \left[\begin{array}{cccc}2& 4& 1& 3\\ -1& -2& 1& 0\\ 0& 0& 2& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]& \stackrel{R_2+\frac{1}{2}{R}_1\to R_2}{\to }& \left[\begin{array}{cccc}2& 4& 1& 3\\ 0& 0& \frac{3}{2}& \frac{3}{2}\\ 0& 0& 2& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\\ & & \stackrel{R_3-\frac{4}{3}{R}_2\to R_3}{\to }& \left[\begin{array}{cccc}2& 4& 1& 3\\ 0& 0& \frac{3}{2}& \frac{3}{2}\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\end{array}$$ per cui la matrice avrà rango $\mathrm{rank}(A)=2$ perchè ci sono solo due righe non nulle.