Teoremi

1. Teorema degli zeri

   Anche detto teorema di Bolzano, diche che avendo una funzione $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continua: $$f(a)<0<f(b),\text{ o anche }f(a)\cdot f(b)<0$$ e quindi $f(a)$ e $f(b)$ hanno segno opposto ($f(a)\cdot f(b)>0$ se entrambi negativi o positivi), allora: $$\exists c\in [a,b]:f(c)=0$$ cioè che se $f$ è continua allora passerà per forza su $y=0$.

2. Teorema dei valori intermedi

   Per cui se la funzione $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ è continua, allora i valori che assume coprono tutti i valori nell'intervallo $[f(a),f(b)]\subseteq \mathbb{R}$, che corrisponde a $\mathrm{Im}(f)$.

3. Teorema di Weierstrass

   Riguarda l'esistenza di massimi e minimi, per una funzione $f:A\to \mathbb{R}$, dove $A$ è un intervallo chiuso e limitato, per cui: $$\exists c,d\in A:f(c)\le f(x)\le f(d),\forall x\in A$$

Esempi

• $f(x)=x+{\log }_e(x)$

  Ha dominio $D=(0,+\infty )$, e va mostrato che la funzione ha almeno uno zero in $D$, quindi: $$x+{\log }_e(x)=0$$

  Basta trovare due valori $a$ e $b$ che hanno $f(a)$ e $f(b)$ con segno opposto: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty \Rightarrow \exists a\in D:f(a)>0$$ $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=-\infty \Rightarrow \exists b\in D:f(b)<0$$

  Quindi, dato che la funzione è continua e $f(a)\cdot f(b)\le 0$, allora: $$\exists c\in D:f(c)=0$$