Probabilità e statistica

La probabilità si basa sul calcolo combinatorio, cioè sul come contare raggruppamenti di oggetti.

Di base, il principio fondamentale generalizzato del calcolo combinatorio permette di contare le configurazioni di $r$ oggetti, ognuno dei quali può assumere $m_i$ stati: $$\prod _{i=1}^r{m}_i=m_1\cdot m_2\cdot ...\cdot m_r$$ dove $m_1$ sono gli stati del primo oggetto, $m_2$ del secondo, etc.

In particolare, considerata un'urna contenente delle palline distinguibili, si possono pescare:

• $r$ palline su $n$ reinserendole, cioè $\underset{r}{\underbrace{n\cdot n\cdot ...\cdot n}}=n^r=D_{n,r}^{\prime }$¹
• $r$ palline dalle rimanenti su $n$ senza reinserirle, cioè $\underset{r}{\underbrace{n\cdot (n-1)\cdot ...\cdot (n-r+1)}}=\frac{n!}{(n-r)!}=D_{n,r}$²
• tutte le $n$ palline, cioè $\underset{n}{\underbrace{n\cdot (n-1)\cdot ...\cdot 1}}=n!=P_n$³
• $r$ palline su $n$ senza reinserirle il cui ordine non distingue le configurazioni, cioè $\frac{D_{n,r}}{P_r}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)=C_{n,r}$⁴

Per esempio, date le lettere $\mathrm{PEPPER}$ si vogliono trovare il numero di anagrammi dove l'ordine delle $\mathrm{P}$ e delle $\mathrm{E}$ non differenzia le configurazioni (e.g. ${\mathrm{P}}_1{\mathrm{E}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3{\mathrm{E}}_2\mathrm{R}={\mathrm{P}}_2{\mathrm{E}}_2{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_1{\mathrm{E}}_1\mathrm{R}$): $$\frac{D_{6,6}}{P_3\cdot P_2}=\frac{6!}{3!\cdot 2!}=\frac{720}{12}=60$$ infatti ogni disposizione contiene $3!\cdot 2!$ configurazioni uguali, scambiando le $\mathrm{P}$ e le $\mathrm{E}$.