Determinante

Il determinante di una matrice quadrata $2\times 2$ è dato da: $$\det (A)=\det \left(\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\right)=a\cdot d-b\cdot c$$

Minore

Il minore $M_{i,j}$ di una matrice $A$ è il determinante della sottomatrice senza la riga $i$ e la colonna $j$.

Per esempio: $$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]\Rightarrow M_{1,3}=\det \left(\left[\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right]\right)=4\cdot 8-5\cdot 7=-3$$

Matrice dei cofattori

Ogni cofattore della matrice dei cofattori è dato da: $$C_{i,j}=(-1{)}^{i+j}\cdot M_{i,j}$$ dove $M_{i,j}$ è il minore di $A$ in riga $i$ e colonna $j$.

Di conseguenza, la matrice completa dei cofattori di $A$ sarà: $$C=\left[\begin{array}{cccc}{C}_{11}& C_{12}& \cdots & C_{1n}\\ C_{21}& C_{22}& \cdots & C_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ C_{n1}& C_{n2}& \cdots & C_{nn}\end{array}\right]$$

Determinante di matrici più grandi

Nel caso di matrici più grandi, come nel caso di $3\times 3$, si ha che: $$\begin{array}{rl}\det \left(\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]\right)& =a\cdot M_{1,1}-b\cdot M_{1,2}+c\cdot M_{1,3}=\\ & =a\cdot \det \left(\left[\begin{array}{cc}e& f\\ h& i\end{array}\right]\right)-b\cdot \det \left(\left[\begin{array}{cc}d& f\\ g& i\end{array}\right]\right)+c\cdot \det \left(\left[\begin{array}{cc}d& e\\ g& h\end{array}\right]\right)\end{array}$$ dove $M_{1,j}$ è il minore sulla colonna $j$.

In generale quindi, quando la dimensione è più grande di $2\times 2$: $$\det (A)=\sum _{j=1}^n{a}_{1,j}\cdot C_{1,j}$$ dove $C_{1,j}$ è il valore della matrice dei cofattori in riga $1$ e colonna $j$, mentre $n$ è il numero di colonne.