Combinazioni lineari

Una combinazione lineare dei vettori ${\vec{v}}_1,...,{\vec{v}}_n\in V$ con i coefficienti $a_1,...,a_n\in K$, è il vettore: $$a_1{\vec{v}}_1+a_2{\vec{v}}_2+...+a_n{\vec{v}}_n$$

Dipendenza lineare

I vettori ${\vec{v}}_1,...,{\vec{v}}_n\in V$ si dicono linearmente indipendenti se: $$a_1{\vec{v}}_1+...+a_n{\vec{v}}_n=\vec{0}\iff a_1,...,a_n=0$$ cioè se la loro combinazione lineare è $\vec{0}$ solamente quando i coefficienti sono $0$.

Si dicono linearmente dipendenti invece, se la combinazione è $\vec{0}$ anche se $\exists i\in [1,n]:a_i\ne 0$.
Infatti, se $a_1\ne 0$: $$\begin{gathered} a_1{\vec{v}}_1+a_2{\vec{v}}_2+...+a_n{\vec{v}}_n=0 \\ \Downarrow \\ {a}_1{\vec{v}}_1=-(a_2{\vec{v}}_2+...+a_n{\vec{v}}_n) \\ \Downarrow \\ {\vec{v}}_1=-\frac{1}{a_1}(a_2{\vec{v}}_2+...+a_n{\vec{v}}_n) \end{gathered}$$ per cui sono dipendenti.

Span

Lo span di $v_1,...,v_n$ sullo spazio vettoriale $V$ è il sottospazio di tutte le combinazioni lineari di tali vettori: $$\mathrm{span}(v_1,...,v_n)=\{a_1{v}_1+...+a_n{v}_n:a_1,...,a_n\in K\}$$

Sistema di generatori

Un insieme $\{v_1,v_2,...,v_n\}\subseteq V$ si dice sistema di generatori se: $$\forall w\in V,\exists a_1,a_2,...,a_n\in K:a_1{v}_1+a_2{v}_2+...+a_n{v}_n=w$$ cioè se permette di trovare tutti i vettori dello spazio $V$ tramite opportune combinazioni lineari.