Proprietà

• Limiti: $$\underset{t\to t_0}{\lim }r(t)=s\in {\mathbb{R}}^m\iff \underset{t\to t_0}{\lim }{r}_i(t)=s_i,\forall i=1,...,m$$ e cioè che il limite del vettore è il vettore dei limiti dei componenti.

• Continuità: $$r(t)\in {\mathcal{C}}^0\iff r_i(t)\in {\mathcal{C}}^0,\forall i=1,...,m$$

  Per esempio, con una curva definita a tratti: $$r(t)=\{\begin{array}{ll}{r}_1(t)=(\frac{4}{t}\cos (\pi t),-\frac{4}{t}\sin (\pi t))& \text{se }1\le t<4\\ r_2(t)=(-5t+21,0)& \text{se }4\le t\le 5\end{array}$$ $r_{1,2}(t)$ sono continue perchè composizione di funzioni continue, e $r(t)$ è continua perchè $r_1(4)=r_2(4)$.

• Derivabilità: $$\begin{gathered} r(t)\in C^1\iff r_i(t)\in C^1,\forall i=1,...,m \\ \Downarrow \\ {r}^{\prime }(t)=(r_1^{\prime }(t),r_2^{\prime }(t),...,r_m^{\prime }(t)) \end{gathered}$$

  Di conseguenza, $r^{\prime }(t_0)$ sarà il vettore velocità e $r^{\prime \prime }(t_0)$ sarà il vettore accelerazione entrambi al tempo $t_0$, come si può vedere su questo esempio.

  Trovando le norme $\Vert r^{\prime }(t_0)\Vert$ e $\Vert r^{\prime \prime }(t_0)\Vert$ si trovano quindi la velocità e accelerazione scalare in $t_0$.

• Integrabilità: $$\begin{gathered} r(t)\in \mathcal{R}\iff r_i(t)\in \mathcal{R},\forall i=1,...,m \\ \Downarrow \\ \int r(t)dt=\left(\int r_1(t)dt,\int r_2(t)dt,...,\int r_m(t)dt\right) \end{gathered}$$ dove $\mathcal{R}$ è l'insieme di tutte le funzioni integrabili in $I$ (secondo Reimann).