Trigonometriche

L'angolo $\alpha$ viene ordinariamente rappresentato in radianti invece che gradi (e.g. $\pi =180^{\circ }$).

L'equazione di un cerchio è quindi, per il teorema di pitagora: $$x^2+y^2=r^2$$ dove $r$ è il raggio. I valori di $x$ e $y$ sono ricavabili conoscendo l'angolo $\alpha$: $$\begin{gathered} y=r\cdot \sin (\alpha ) \\ x=r\cdot \cos (\alpha ) \end{gathered}$$

Nel caso della circonferenza unitaria, cioè con raggio $r=1$, si hanno le seguenti proprietà:

• $x=\cos (\alpha )$
• $y=\sin (\alpha )$
• $\cos (\alpha ),\sin (\alpha )\in [-1,1]$
• Le funzioni sono periodiche con $T=2\pi$
• $\cos (-\alpha )=\cos (\alpha )$ quindi è simmetrica rispetto all'asse $y$
• $\sin (-\alpha )=-\sin (\alpha )$ quindi è simmetrica rispetto all'origine
• $\cos (\alpha +\beta )=\cos (\alpha )\cos (\beta )-\sin (\alpha )\sin (\beta )$
• $\sin (\alpha +\beta )=\sin (\alpha )\cos (\beta )+\sin (\beta )\cos (\alpha )$
• ${\cos }^2(\alpha )+{\sin }^2(\alpha )=1$

Dalle ultime tre formule è possibile ricavarsi che:

• $\sin (2\alpha )=2\sin (\alpha )\cos (\alpha )$
• $\cos (2\alpha )={\cos }^2(\alpha )-{\sin }^2(\alpha )=1-2{\sin }^2(\alpha )=-1+2{\cos }^2(\alpha )$
• ${\sin }^2(\alpha )=\frac{1-\cos (2\alpha )}{2}$
• ${\cos }^2(\alpha )=\frac{1+\cos (2\alpha )}{2}$

Tangente

Per trovare la tangente di un angolo $\alpha$, si può fare la proporzione tra un triangolo $△OAP$, dove $P=(\cos (\alpha ),\sin (\alpha ))$, con il triangolo $△OBQ$ per trovare $\overline{BQ}=\tan (\alpha )$ dove $Q$ corrisponde al punto in cui la retta di angolo $\alpha$ si interseca con $x=1$:

$$\overline{OA}:\overline{OB}=\overline{AP}:\overline{BQ}$$ $$\cos (\alpha ):1=\sin (\alpha ):\tan (\alpha )\Rightarrow \tan (\alpha )=\frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}$$

Questo implica anche che $\alpha \ne \frac{pi}{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

La funzione è dispari, perchè il grafico della funzione è simmetrico rispetto all'origine, ed è periodica con $T=\pi$.

Inverse

Perchè le funzioni trigonometriche siano invertibili vanno ristrette sul dominio rendendole biettive.

• Seno $$\sin :\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]\to [-1,1]$$

  $$\arcsin :[-1,1]\to \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$$

• Coseno $$\cos :[0,\pi ]\to [-1,1]$$

  $$\arccos :[-1,1]\to [0,\pi ]$$

• Tangente $$\tan :\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)\to (-\infty ,+\infty )$$

  $$\arctan :(-\infty ,+\infty )\to \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$$

Cotangente

La cotangente usa lo stesso concetto della tangente, ma invece che trovare l'intersezione su $x=1$, si trova il valore dell'intersezione su $y=1$. $$\cot (\alpha )=\frac{\cos (\alpha )}{\sin (\alpha )}=\frac{1}{\tan (\alpha )}$$

Secante

La secante invece, cerca l'intersezione su $y=0$, della tangente che sta sul punto di intersezione tra la retta di angolo $\alpha$ e la circonferenza. $$\sec (\alpha )=\frac{1}{\cos (\alpha )},\mathrm{cosec}(\alpha )=\frac{1}{\sin (\alpha )}$$